حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sin (x + y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x + y))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \cos (x + y) (1 + y')$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط $\cos (x + y) (1 + y')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y'$

خطوة 5.1.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.1

اضرب $\cos (x + y)$ في $1$ .

$y' = \cos (x + y) + \cos (x + y) y'$

خطوة 5.1.1.2.2

أعِد ترتيب العوامل في $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$y' = \cos (x + y) + y' \cos (x + y)$

خطوة 5.2

اطرح $y' \cos (x + y)$ من كلا المتعادلين.

$y' - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' - y' \cos (x + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- y' \cos (x + y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cdot 1 + y' (- 1 \cos (x + y))$ .

$y' (1 - 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $- 1 \cos (x + y)$ بالصيغة $- \cos (x + y)$ .

$y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$ على $1 - \cos (x + y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$ على $1 - \cos (x + y)$ .

$\frac{y' (1 - \cos (x + y))}{1 - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - \cos (x + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 - \cos (x + y))}{1 - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$