حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$24 x^{3} y^{2} - 8 y^{3} = - 11$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (24 x^{3} y^{2} - 8 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 11)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $24 x^{3} y^{2} - 8 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [24 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [24 x^{3} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $24 x^{3} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $24 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y^{2}$ .

$24 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$24 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$24 (x^{3} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$24 (x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$24 (x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$24 (x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

خطوة 2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $x^{3}$ .

$24 (2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

خطوة 2.2.7

انقُل $3$ إلى يسار $y^{2}$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (3 y^{2} y')$

خطوة 2.3.4

اضرب $3$ في $- 8$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 24 y^{2} y'$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$24 (2 x^{3} y y') + 24 (3 y^{2} x^{2}) - 24 y^{2} y'$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب $2$ في $24$ .

$48 (x^{3} y y') + 24 (3 y^{2} x^{2}) - 24 y^{2} y'$

خطوة 2.4.2.2

اضرب $3$ في $24$ .

$48 x^{3} y y' + 72 y^{2} x^{2} - 24 y^{2} y'$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$48 x^{3} y y' + 72 x^{2} y^{2} - 24 y^{2} y'$

خطوة 3

بما أن $- 11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 11$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$48 x^{3} y y' + 72 x^{2} y^{2} - 24 y^{2} y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $72 x^{2} y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$48 x^{3} y y' - 24 y^{2} y' = - 72 x^{2} y^{2}$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $24 y y'$ من $48 x^{3} y y' - 24 y^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $24 y y'$ من $48 x^{3} y y'$ .

$24 y y' (2 x^{3}) - 24 y^{2} y' = - 72 x^{2} y^{2}$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $24 y y'$ من $- 24 y^{2} y'$ .

$24 y y' (2 x^{3}) + 24 y y' (- y) = - 72 x^{2} y^{2}$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $24 y y'$ من $24 y y' (2 x^{3}) + 24 y y' (- y)$ .

$24 y y' (2 x^{3} - y) = - 72 x^{2} y^{2}$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $24 y y' (2 x^{3} - y) = - 72 x^{2} y^{2}$ على $24 y (2 x^{3} - y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $24 y y' (2 x^{3} - y) = - 72 x^{2} y^{2}$ على $24 y (2 x^{3} - y)$ .

$\frac{24 y y' (2 x^{3} - y)}{24 y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{24 y y' (2 x^{3} - y)}{24 y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y' (2 x^{3} - y)}{y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (2 x^{3} - y)}{y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (2 x^{3} - y)}{2 x^{3} - y} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x^{3} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 x^{3} - y)}{2 x^{3} - y} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

خطوة 5.3.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 72$ و $24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

أخرِج العامل $24$ من $- 72 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{24 (- 3 x^{2} y^{2})}{24 y (2 x^{3} - y)}$

خطوة 5.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $24$ من $24 y (2 x^{3} - y)$ .

$y' = \frac{24 (- 3 x^{2} y^{2})}{24 (y (2 x^{3} - y))}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{24 (- 3 x^{2} y^{2})}{24 (y (2 x^{3} - y))}$

خطوة 5.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{y (2 x^{3} - y)}$

خطوة 5.3.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y)}{y (2 x^{3} - y)}$

خطوة 5.3.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y)}{y (2 x^{3} - y)}$

خطوة 5.3.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{2 x^{3} - y}$

خطوة 5.3.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{2 x^{3} - y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y}{2 x^{3} - y}$