حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y^{2} - x^{3} y = 6$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - x^{3} y) = \frac{d}{d x} (6)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y^{2} - x^{3} y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

خطوة 2.2.6

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$2 x y y' + y^{2} - \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

خطوة 2.3.5

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + 3 y x^{2})$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y') - (3 y x^{2})$

خطوة 2.4.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$2 x y y' + y^{2} - x^{3} y' - 3 y x^{2}$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y$

خطوة 3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y = - y^{2}$

خطوة 5.1.2

أضف $3 x^{2} y$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x y y' - x^{3} y' = - y^{2} + 3 x^{2} y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $x y'$ من $2 x y y' - x^{3} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $x y'$ من $2 x y y'$ .

$x y' (2 y) - x^{3} y' = - y^{2} + 3 x^{2} y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $x y'$ من $- x^{3} y'$ .

$x y' (2 y) + x y' (- x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $x y'$ من $x y' (2 y) + x y' (- x^{2})$ .

$x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$ على $x (2 y - x^{2})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$ على $x (2 y - x^{2})$ .

$\frac{x y' (2 y - x^{2})}{x (2 y - x^{2})} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' (2 y - x^{2})}{x (2 y - x^{2})} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{x (3 x y)}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{x (3 x y)}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$

خطوة 5.3.3.2

لكتابة $\frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y}{2 y - x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

خطوة 5.3.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x (2 y - x^{2})$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

اضرب $\frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$ في $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y x}{(2 y - x^{2}) x}$

خطوة 5.3.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(2 y - x^{2}) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- y^{2} + 3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2} + 3 x y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) + 3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.3.5.1.2

أخرِج العامل $y$ من $3 x y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (3 x \cdot x)}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.3.5.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y (- y) + y (3 x \cdot x)$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 x \cdot x)}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.3.5.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.2.1

انقُل $x$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 (x \cdot x))}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.3.5.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.3.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) + 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.3.6.2

أخرِج العامل $- 1$ من $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (- 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.3.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y) - (- 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (- (y - 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.3.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.6.4.1

أعِد كتابة $- (y - 3 x^{2})$ بالصيغة $- 1 (y - 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y - 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 5.3.3.6.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$