حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{2} x^{2}$ , $y = - x^{2} + 6$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بسّط $\frac{1}{2} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أعِد الكتابة.

$0 + 0 + \frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

خطوة 1.2.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

خطوة 1.2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} = - x^{2} + 6$

خطوة 1.2.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أضف $x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} = 6$

خطوة 1.2.2.2

لكتابة $x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} \cdot \frac{2}{2} = 6$

خطوة 1.2.2.3

اجمع $x^{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

خطوة 1.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} + x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

خطوة 1.2.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.5.1

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x^{2}}{2} = 6$

خطوة 1.2.2.5.2

أضف $x^{2}$ و $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

خطوة 1.2.3

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

خطوة 1.2.4

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1

بسّط $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1.1

اجمع.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

خطوة 1.2.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

خطوة 1.2.4.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

خطوة 1.2.4.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

خطوة 1.2.4.1.1.3.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط $\frac{2}{3} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

خطوة 1.2.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

خطوة 1.2.4.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x^{2} = 4$

خطوة 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

خطوة 1.2.6

بسّط $\pm \sqrt{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

خطوة 1.2.6.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 2$

خطوة 1.2.7

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2$

خطوة 1.2.7.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2$

خطوة 1.2.7.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2, - 2$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$y = - {(2)}^{2} + 6$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $2$ عن $x$ في $y = - {(2)}^{2} + 6$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = - 2^{2} + 6$

خطوة 1.3.2.2

بسّط $- 2^{2} + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = - 1 \cdot 4 + 6$

خطوة 1.3.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y = - 4 + 6$

خطوة 1.3.2.2.2

أضف $- 4$ و $6$ .

$y = 2$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

خطوة 2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2}$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 d x - \int_{- 2}^{2} \frac{x^{2}}{2} d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 - (\frac{x^{2}}{2}) d x$

خطوة 4.2

لكتابة $- x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6 d x$

خطوة 4.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اجمع $- x^{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6$

خطوة 4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} \frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6 d x$

خطوة 4.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) - x^{2}}{2} + 6$

خطوة 4.4.1.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + 6$

خطوة 4.4.1.1.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2 - 1)}{2} + 6$

خطوة 4.4.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{x^{2} (- 2 - 1)}{2} + 6$

خطوة 4.4.1.3

اطرح $1$ من $- 2$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{2} + 6$

خطوة 4.4.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{2}}{2} + 6$

خطوة 4.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 d x$

خطوة 4.5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

خطوة 4.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- 2}^{2} \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

خطوة 4.7

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{3}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{3}{2} \int_{- 2}^{2} x^{2} d x) + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

خطوة 4.9

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + 6 x]_{- 2}^{2}$

خطوة 4.10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3}$ في $2$ وفي $- 2$ .

$- \frac{3}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 x]_{- 2}^{2}$

خطوة 4.10.2

احسِب قيمة $6 x$ في $2$ وفي $- 2$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $8$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.4

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + 8 (\frac{1}{3})) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.5

اجمع $8$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{8 + 8}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.7

أضف $8$ و $8$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.8

اضرب $\frac{16}{3}$ في $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.9

اضرب $16$ في $3$ .

$- \frac{48}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.10

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{48}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $48$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.3.11.1

أخرِج العامل $6$ من $48$ .

$- \frac{6 \cdot 8}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.3.11.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$- \frac{6 \cdot 8}{6 (1)} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{6 \cdot 8}{6 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{8}{1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.11.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$- 1 \cdot 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.12

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.13

اضرب $6$ في $2$ .

$- 8 + 12 - 6 \cdot - 2$

خطوة 4.10.3.14

اضرب $- 6$ في $- 2$ .

$- 8 + 12 + 12$

خطوة 4.10.3.15

أضف $12$ و $12$ .

$- 8 + 24$

خطوة 4.10.3.16

أضف $- 8$ و $24$ .

$16$

خطوة 5