حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x + 12$ , $y = x^{2}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x + 12 = x^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x + 12 = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$x + 12 - x^{2} = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $x + 12 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أعِد ترتيب العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1.1

انقُل $12$ .

$x - x^{2} + 12 = 0$

خطوة 1.2.2.1.1.2

أعِد ترتيب $x$ و $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 12 = 0$

خطوة 1.2.2.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 12 = 0$

خطوة 1.2.2.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 12 = 0$

خطوة 1.2.2.1.4

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $- 1 (- 12)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 12 = 0$

خطوة 1.2.2.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 12 = 0$

خطوة 1.2.2.1.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} - x) - 1 (- 12)$ .

$- (x^{2} - x - 12) = 0$

خطوة 1.2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

حلّل $x^{2} - x - 12$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 12$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 4, 3 + y = x^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- ((x - 4) (x + 3)) = 0$

خطوة 1.2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (x - 4) (x + 3) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0 + y = x^{2}$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 1.2.5.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (x - 4) (x + 3) = 0$ صحيحة.

$x = 4, - 3$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$y = {(4)}^{2}$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $4$ عن $x$ في $y = {(4)}^{2}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 4^{2}$

خطوة 1.3.2.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$y = 16$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{2}$

خطوة 1.4.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$y = 9$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(4, 16)$

$(- 3, 9)$

$(4, 16)$

$(- 3, 9)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 3}^{4} x + 12 d x - \int_{- 3}^{4} x^{2} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 3$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 3}^{4} x + 12 - (x^{2}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $- 1$ في $x^{2}$ .

$\int_{- 3}^{4} x + 12 - x^{2} d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 3}^{4} x d x + \int_{- 3}^{4} 12 d x + \int_{- 3}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} 12 d x + \int_{- 3}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + 12 x]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + 12 x]_{- 3}^{4} - \int_{- 3}^{4} x^{2} d x$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + 12 x]_{- 3}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{4})$

خطوة 3.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.1

اجمع $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4}$ و $12 x]_{- 3}^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 12 x]_{- 3}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{4})$

خطوة 3.8.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 12 x]_{- 3}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

خطوة 3.8.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} x^{2} + 12 x$ في $4$ وفي $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

خطوة 3.8.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $4$ وفي $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $16$ .

$\frac{16}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{8}{1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.3.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$8 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.4

اضرب $12$ في $4$ .

$8 + 48 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.5

أضف $8$ و $48$ .

$56 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.6

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$56 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $9$ .

$56 - (\frac{9}{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.8

اضرب $12$ في $- 3$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.9

لكتابة $- 36$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36 \cdot \frac{2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.10

اجمع $- 36$ و $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} + \frac{- 36 \cdot 2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$56 - \frac{9 - 36 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.3.12.1

اضرب $- 36$ في $2$ .

$56 - \frac{9 - 72}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.12.2

اطرح $72$ من $9$ .

$56 - \frac{- 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$56 - - \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.14

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$56 + 1 (\frac{63}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.15

اضرب $\frac{63}{2}$ في $1$ .

$56 + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.16

لكتابة $56$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$56 \cdot \frac{2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.17

اجمع $56$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{56 \cdot 2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{56 \cdot 2 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.19

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.3.19.1

اضرب $56$ في $2$ .

$\frac{112 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.19.2

أضف $112$ و $63$ .

$\frac{175}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.20

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

خطوة 3.8.2.3.21

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 27}{3})$

خطوة 3.8.2.3.22

احذِف العامل المشترك لـ $- 27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.3.22.1

أخرِج العامل $3$ من $- 27$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

خطوة 3.8.2.3.22.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.3.22.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

خطوة 3.8.2.3.22.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

خطوة 3.8.2.3.22.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 9}{1})$

خطوة 3.8.2.3.22.2.4

اقسِم $- 9$ على $1$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - - 9)$

خطوة 3.8.2.3.23

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9)$

خطوة 3.8.2.3.24

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 3.8.2.3.25

اجمع $9$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

خطوة 3.8.2.3.26

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 9 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.8.2.3.27

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.3.27.1

اضرب $9$ في $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 27}{3}$

خطوة 3.8.2.3.27.2

أضف $64$ و $27$ .

$\frac{175}{2} - \frac{91}{3}$

خطوة 3.8.2.3.28

لكتابة $\frac{175}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3}$

خطوة 3.8.2.3.29

لكتابة $- \frac{91}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 3.8.2.3.30

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.3.30.1

اضرب $\frac{175}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 3.8.2.3.30.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 3.8.2.3.30.3

اضرب $\frac{91}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

خطوة 3.8.2.3.30.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{6}$

خطوة 3.8.2.3.31

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{175 \cdot 3 - 91 \cdot 2}{6}$

خطوة 3.8.2.3.32

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.3.32.1

اضرب $175$ في $3$ .

$\frac{525 - 91 \cdot 2}{6}$

خطوة 3.8.2.3.32.2

اضرب $- 91$ في $2$ .

$\frac{525 - 182}{6}$

خطوة 3.8.2.3.32.3

اطرح $182$ من $525$ .

$\frac{343}{6}$

خطوة 4