حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y + x + y = x^{2} y^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x y + x + y) = \frac{d}{d x} (x^{2} y^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y + x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.4

اضرب $y$ في $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y' + y + 1 + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y' + y + 1 + y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

خطوة 3.6

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x y' + y + 1 + y' = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $2 x^{2} y y'$ من كلا المتعادلين.

$x y' + y + 1 + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x y' + 1 + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y$

خطوة 5.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x y' + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $x y' + y' - 2 x^{2} y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $x y'$ .

$y' x + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

خطوة 5.3.2

ارفع $y'$ إلى القوة $1$ .

$y' x + y' - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 - 2 x^{2} y y' = 2 y^{2} x - y - 1$

خطوة 5.3.4

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 x^{2} y y'$ .

$y' (x) + y' \cdot 1 + y' (- 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

خطوة 5.3.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) + y' (- 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

خطوة 5.3.6

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x + 1) + y' (- 2 x^{2} y)$ .

$y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$ على $x + 1 - 2 x^{2} y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (x + 1 - 2 x^{2} y) = 2 y^{2} x - y - 1$ على $x + 1 - 2 x^{2} y$ .

$\frac{y' (x + 1 - 2 x^{2} y)}{x + 1 - 2 x^{2} y} = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1 - 2 x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x + 1 - 2 x^{2} y)}{x + 1 - 2 x^{2} y} = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{y}{x + 1 - 2 x^{2} y} + \frac{- 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

خطوة 5.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2 y^{2} x}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{y}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

خطوة 5.4.3.2

اجمع في كسر واحد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 y^{2} x - y}{x + 1 - 2 x^{2} y} - \frac{1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

خطوة 5.4.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} x - y - 1}{x + 1 - 2 x^{2} y}$