حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{i = 1}^{20} {(i - 1)}^{2}$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(i - 1)}^{2}$ بالصيغة $(i - 1) (i - 1)$ .

$(i - 1) (i - 1)$

خطوة 1.2

وسّع $(i - 1) (i - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $i$ في $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $i$ .

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$i^{2} - i - i + 1$

خطوة 1.3.2

اطرح $i$ من $- i$ .

$i^{2} - 2 i + 1$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1$

خطوة 2

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{20} i + \sum_{i = 1}^{20} 1$

خطوة 3

احسِب قيمة $\sum_{i = 1}^{20} i^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 3.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $20$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

خطوة 3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

خطوة 3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

خطوة 3.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $2$ في $20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

خطوة 3.3.2.2

أضف $20$ و $1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

خطوة 3.3.2.3

اضرب $10$ في $21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

خطوة 3.3.2.4

أضف $40$ و $1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

خطوة 3.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $210$ في $41$ .

$\frac{8610}{3}$

خطوة 3.3.3.2

اقسِم $8610$ على $3$ .

$2870$

خطوة 4

احسِب قيمة $2 \sum_{i = 1}^{20} i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 4.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(- 2) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أضف $20$ و $1$ .

$- 2 \frac{20 \cdot 21}{2}$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $20$ في $21$ .

$- 2 (\frac{420}{2})$

خطوة 4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{420}{2}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{420}{2}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot 420$

خطوة 4.3.3

اضرب $- 1$ في $420$ .

$- 420$

خطوة 5

احسِب قيمة $\sum_{i = 1}^{20} 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$(1) (20)$

خطوة 5.3

اضرب $20$ في $1$ .

$20$

خطوة 6

أضف نتائج المجاميع.

$2870 - 420 + 20$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اطرح $420$ من $2870$ .

$2450 + 20$

خطوة 7.2

أضف $2450$ و $20$ .

$2470$