حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

20 \sum i = 1 {(i - 1)}^{2}

$\sum_{i = 1}^{20} {(i - 1)}^{2}$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة

{(i - 1)}^{2}

${(i - 1)}^{2}$ بالصيغة

(i - 1) (i - 1)

$(i - 1) (i - 1)$ .

(i - 1) (i - 1)

$(i - 1) (i - 1)$

خطوة 1.2

وسّع

(i - 1) (i - 1)

$(i - 1) (i - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

i (i - 1) - 1 (i - 1)

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب

i

$i$ في

i

$i$ .

i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.1.2

انقُل

- 1

$- 1$ إلى يسار

i

$i$ .

i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.1.3

أعِد كتابة

- 1 i

$- 1 i$ بالصيغة

- i

$- i$ .

i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.1.4

أعِد كتابة

- 1 i

$- 1 i$ بالصيغة

- i

$- i$ .

i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.3.1.5

اضرب

- 1

$- 1$ في

- 1

$- 1$ .

i^{2} - i - i + 1

$i^{2} - i - i + 1$

i^{2} - i - i + 1

$i^{2} - i - i + 1$

خطوة 1.3.2

اطرح

i

$i$ من

- i

$- i$ .

i^{2} - 2 i + 1

$i^{2} - 2 i + 1$

i^{2} - 2 i + 1

$i^{2} - 2 i + 1$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المجموع.

20 \sum i = 1 i^{2} - 2 i + 1

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1$

20 \sum i = 1 i^{2} - 2 i + 1

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1$

خطوة 2

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

20 \sum i = 1 i^{2} - 2 i + 1 = 20 \sum i = 1 i^{2} - 2 20 \sum i = 1 i + 20 \sum i = 1 1

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{20} i + \sum_{i = 1}^{20} 1$

خطوة 3

احسِب قيمة

20 \sum i = 1 i^{2}

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة

2

$2$ هي:

n \sum k = 1 i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 3.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ

$20$ و

$6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أخرِج العامل

$2$ من

$20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

خطوة 3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

أخرِج العامل

$2$ من

$6$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

خطوة 3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

خطوة 3.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب

$2$ في

$20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

خطوة 3.3.2.2

أضف

$20$ و

$1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

خطوة 3.3.2.3

اضرب

$10$ في

$21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

خطوة 3.3.2.4

أضف

$40$ و

$1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

خطوة 3.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب

$210$ في

$41$ .

$\frac{8610}{3}$

خطوة 3.3.3.2

اقسِم

$8610$ على

$3$ .

$2870$

خطوة 4

احسِب قيمة

$2 \sum_{i = 1}^{20} i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة

$1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 4.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(- 2) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أضف

$20$ و

$1$ .

$- 2 \frac{20 \cdot 21}{2}$

خطوة 4.3.1.2

اضرب

$20$ في

$21$ .

$- 2 (\frac{420}{2})$

خطوة 4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل

$2$ من

$- 2$ .

$2 (- 1) \frac{420}{2}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{420}{2}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot 420$

خطوة 4.3.3

اضرب

$- 1$ في

$420$ .

$- 420$

خطوة 5

احسِب قيمة

$\sum_{i = 1}^{20} 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$(1) (20)$

خطوة 5.3

اضرب

$20$ في

$1$ .

$20$

خطوة 6

أضف نتائج المجاميع.

$2870 - 420 + 20$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اطرح

$420$ من

$2870$ .

$2450 + 20$

خطوة 7.2

أضف

$2450$ و

$20$ .

$2470$