حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int {(e^{t} + 1)}^{2} d t$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(e^{t} + 1)}^{2}$ بالصيغة $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ .

$\int (e^{t} + 1) (e^{t} + 1) d t$

خطوة 1.2

وسّع $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1) d t$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1) d t$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $e^{t}$ في $e^{t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

خطوة 1.3.1.1.2

أضف $t$ و $t$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $e^{t}$ في $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $e^{t}$ في $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

خطوة 1.3.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 d t$

خطوة 1.3.2

أضف $e^{t}$ و $e^{t}$ .

$\int e^{2 t} + 2 e^{t} + 1 d t$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int e^{2 t} d t + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

خطوة 3

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 3.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

خطوة 4

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

خطوة 6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

خطوة 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{t} d t + \int d t$

خطوة 8

تكامل $e^{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + \int d t$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + t + C$

خطوة 10

بسّط.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{t} + t + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$\frac{1}{2} e^{2 t} + 2 e^{t} + t + C$