حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{7} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x^{3}} d x$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{\ln (x^{2})}{x^{3}}$ بالصيغة $\frac{2 \ln (x)}{x^{3}}$ .

$\int_{1}^{7} \frac{2 \ln (x)}{x^{3}} d x$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{1}^{7} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

خطوة 3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 3.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{- 3} d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = x^{- 3}$ .

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

خطوة 5.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x)$

خطوة 5.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x)$

خطوة 5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x)$

خطوة 5.5

أضف $1$ و $2$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - - \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + 1 \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

خطوة 7.2

اضرب $\int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ في $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x)$

خطوة 9

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} {(x^{3})}^{- 1} d x)$

خطوة 9.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{3 \cdot - 1} d x)$

خطوة 9.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{- 3} d x)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{7})$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اجمع $x^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7})$

خطوة 11.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}}{2})$

خطوة 11.1.3

انقُل $x^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

خطوة 11.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

احسِب قيمة $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ في $7$ وفي $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

خطوة 11.2.2

احسِب قيمة $- \frac{1}{2 x^{2}}$ في $7$ وفي $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

خطوة 11.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 49} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

خطوة 11.2.3.2

اضرب $2$ في $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

خطوة 11.2.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

خطوة 11.2.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

خطوة 11.2.3.5

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{2 \cdot 49} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

خطوة 11.2.3.6

اضرب $2$ في $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

خطوة 11.2.3.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1}}{2})$

خطوة 11.2.3.8

اضرب $2$ في $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2}}{2})$

خطوة 11.2.3.9

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{49}}{2})$

خطوة 11.2.3.10

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $98$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.10.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{2 \cdot 49}}{2})$

خطوة 11.2.3.10.2

اضرب $2$ في $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{98}}{2})$

خطوة 11.2.3.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{- 1 + 49}{98}}{2})$

خطوة 11.2.3.12

أضف $- 1$ و $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{48}{98}}{2})$

خطوة 11.2.3.13

احذِف العامل المشترك لـ $48$ و $98$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.13.1

أخرِج العامل $2$ من $48$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 (24)}{98}}{2})$

خطوة 11.2.3.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $98$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

خطوة 11.2.3.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

خطوة 11.2.3.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{24}{49}}{2})$

خطوة 11.2.3.14

أعِد كتابة $\frac{\frac{24}{49}}{2}$ في صورة حاصل ضرب.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 11.2.3.15

اضرب $\frac{24}{49}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49 \cdot 2})$

خطوة 11.2.3.16

اضرب $49$ في $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{98})$

خطوة 11.2.3.17

احذِف العامل المشترك لـ $24$ و $98$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.17.1

أخرِج العامل $2$ من $24$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 (12)}{98})$

خطوة 11.2.3.17.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.17.2.1

أخرِج العامل $2$ من $98$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

خطوة 11.2.3.17.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

خطوة 11.2.3.17.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{12}{49})$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{0}{2} + \frac{12}{49})$

خطوة 12.1.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + 0 + \frac{12}{49})$

خطوة 12.2

أضف $- \frac{\ln (7)}{98}$ و $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{12}{49})$

خطوة 12.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98}) + 2 (\frac{12}{49})$

خطوة 12.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (7)}{98}$ إلى بسط الكسر.

$2 \frac{- \ln (7)}{98} + 2 (\frac{12}{49})$

خطوة 12.4.2

أخرِج العامل $2$ من $98$ .

$2 \frac{- \ln (7)}{2 (49)} + 2 (\frac{12}{49})$

خطوة 12.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{- \ln (7)}{2 \cdot 49} + 2 (\frac{12}{49})$

خطوة 12.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \ln (7)}{49} + 2 (\frac{12}{49})$

خطوة 12.5

اضرب $2 (\frac{12}{49})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

اجمع $2$ و $\frac{12}{49}$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{2 \cdot 12}{49}$

خطوة 12.5.2

اضرب $2$ في $12$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

خطوة 12.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

خطوة 13

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

الصيغة العشرية:

$0.45008346 \dots$