حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{5 x^{5} + 5 x^{2} + 10}{x^{3} - x} d x$

خطوة 1

اقسِم $5 x^{5} + 5 x^{2} + 10$ على $x^{3} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $5 x^{5}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $5 x^{5} + 0 - 5 x^{3} + 0$

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

خطوة 1.6

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

خطوة 1.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $5 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

خطوة 1.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

خطوة 1.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $5 x^{3} + 0 - 5 x + 0$

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

خطوة 1.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10$

خطوة 1.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 5 x^{2} + 5 + \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 5 x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

خطوة 3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

خطوة 7

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x^{2} + 5 x + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 10}{x^{3} - x}$

خطوة 7.1.1.1.2

أخرِج العامل $5$ من $5 x$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (x) + 10}{x^{3} - x}$

خطوة 7.1.1.1.3

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

خطوة 7.1.1.1.4

أخرِج العامل $5$ من $5 (x^{2}) + 5 x$ .

$\frac{5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

خطوة 7.1.1.1.5

أخرِج العامل $5$ من $5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x^{3} - x}$

خطوة 7.1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} - x}$

خطوة 7.1.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

خطوة 7.1.1.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1)}$

خطوة 7.1.1.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1^{2})}$

خطوة 7.1.1.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x ((x + 1) (x - 1))}$

خطوة 7.1.1.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x + 1) (x - 1)}$

خطوة 7.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

خطوة 7.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $C$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

خطوة 7.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.7.2

اقسِم $5 (x^{2} + x + 2)$ على $1$ .

$5 (x^{2} + x + 2) = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.8

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.9

اضرب $5$ في $2$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.10.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.10.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.1.2

اقسِم $A ((x + 1) (x - 1))$ على $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.2

وسّع $(x + 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.10.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.10.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.10.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.3.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.3.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.3.2

أضف $- x$ و $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.3.3

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.4

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.6

أعِد كتابة $- 1 A$ بالصيغة $- A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.7

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.10.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.7.2

اقسِم $(B) (x (x - 1))$ على $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.8

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.9

اضرب $x$ في $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.10

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.11

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.12

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.13

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.14

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.10.14.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

خطوة 7.1.10.14.2

اقسِم $(C) (x (x + 1))$ على $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

خطوة 7.1.10.15

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

خطوة 7.1.10.16

اضرب $x$ في $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

خطوة 7.1.10.17

اضرب $x$ في $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

خطوة 7.1.10.18

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

خطوة 7.1.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.11.1

انقُل $B$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

خطوة 7.1.11.2

انقُل $- A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

خطوة 7.1.11.3

انقُل $- x B$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

خطوة 7.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$5 = A + B + C$

خطوة 7.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$5 = - 1 B + C$

خطوة 7.2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$10 = - 1 A$

خطوة 7.2.4

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

خطوة 7.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $10 = - 1 A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 1 A = 10$ .

$- 1 A = 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

خطوة 7.3.1.2

اقسِم كل حد في $- 1 A = 10$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اقسِم كل حد في $- 1 A = 10$ على $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

خطوة 7.3.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{A}{1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

خطوة 7.3.1.2.2.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

خطوة 7.3.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.3.1

اقسِم $10$ على $- 1$ .

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

خطوة 7.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- 10$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $5 = A + B + C$ بـ $- 10$ .

$5 = (- 10) + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

خطوة 7.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

خطوة 7.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $5 = - 10 + B + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 10 + B + C = 5$ .

$- 10 + B + C = 5$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

خطوة 7.3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.2.1

أضف $10$ إلى كلا المتعادلين.

$B + C = 5 + 10$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

خطوة 7.3.3.2.2

اطرح $C$ من كلا المتعادلين.

$B = 5 + 10 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

خطوة 7.3.3.2.3

أضف $5$ و $10$ .

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

خطوة 7.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $15 - C$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $5 = - 1 B + C$ بـ $15 - C$ .

$5 = - 1 (15 - C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

خطوة 7.3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.2.1

بسّط $- 1 (15 - C) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 = - 1 \cdot 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

خطوة 7.3.4.2.1.1.2

اضرب $- 1$ في $15$ .

$5 = - 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

خطوة 7.3.4.2.1.1.3

اضرب $- 1 (- C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.4.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$5 = - 15 + 1 C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

خطوة 7.3.4.2.1.1.3.2

اضرب $C$ في $1$ .

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

خطوة 7.3.4.2.1.2

أضف $C$ و $C$ .

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

خطوة 7.3.5

أوجِد قيمة $C$ في $5 = - 15 + 2 C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 15 + 2 C = 5$ .

$- 15 + 2 C = 5$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

خطوة 7.3.5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.5.2.1

أضف $15$ إلى كلا المتعادلين.

$2 C = 5 + 15$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

خطوة 7.3.5.2.2

أضف $5$ و $15$ .

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

خطوة 7.3.5.3

اقسِم كل حد في $2 C = 20$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.5.3.1

اقسِم كل حد في $2 C = 20$ على $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

خطوة 7.3.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

خطوة 7.3.5.3.2.1.2

اقسِم $C$ على $1$ .

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

خطوة 7.3.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.5.3.3.1

اقسِم $20$ على $2$ .

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

خطوة 7.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ بـ $10$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.6.1

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ في $B = 15 - C$ بـ $10$ .

$B = 15 - (10)$

$C = 10$

$A = - 10$

خطوة 7.3.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.6.2.1

بسّط $15 - (10)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.6.2.1.1

اضرب $- 1$ في $10$ .

$B = 15 - 10$

$C = 10$

$A = - 10$

خطوة 7.3.6.2.1.2

اطرح $10$ من $15$ .

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

خطوة 7.3.7

اسرِد جميع الحلول.

$B = 5, C = 10, A = - 10$

خطوة 7.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ .

$- \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1}$

خطوة 7.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1} d x$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - \int \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

خطوة 10

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $10$ خارج التكامل.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - (10 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

خطوة 11

اضرب $10$ في $- 1$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

خطوة 13

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

خطوة 14

لنفترض أن $u_{1} = x + 1$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

افترض أن $u_{1} = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 14.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 14.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 14.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 14.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 14.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{10}{x - 1} d x$

خطوة 15

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{10}{x - 1} d x$

خطوة 16

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $10$ خارج التكامل.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{x - 1} d x$

خطوة 17

لنفترض أن $u_{2} = x - 1$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

افترض أن $u_{2} = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 17.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 17.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 17.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 17.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 17.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 18

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 (\ln (| u_{2} |) + C)$

خطوة 19

بسّط.

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| u_{1} |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 20

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + 1$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 20.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 1$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$

خطوة 21

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{5}{3} x^{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$