حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 9 z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

خطوة 1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$9 \int z \sqrt{3 z^{2} - 7} d z$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 3 z^{2} - 7$ . إذن $d u = 6 z d z$ ، لذا $\frac{1}{6} d u = z d z$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 3 z^{2} - 7$ . أوجِد $\frac{d u}{d z}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $3 z^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d z} [3 z^{2} - 7]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 z^{2} - 7$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$ .

$\frac{d}{d z} [3 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d z} [3 z^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $3 z^{2}$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 7]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 z) + \frac{d}{d z} [- 7]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$6 z + \frac{d}{d z} [- 7]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$6 z + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $6 z$ و $0$ .

$6 z$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{6} d u$

خطوة 3

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{6}$ .

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{6} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$9 (\frac{1}{6} \int \sqrt{u} d u)$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $9$ .

$\frac{9}{6} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{3 (3)}{6} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{2} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 5.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7.2.5

اضرب $u^{\frac{3}{2}}$ في $1$ .

$u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 z^{2} - 7$ .

${(3 z^{2} - 7)}^{\frac{3}{2}} + C$