حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{7} \sqrt{y + 9} d y$

خطوة 1

لنفترض أن $u = y + 9$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = y + 9$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 9$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

خطوة 1.1.4

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $y$ في $u = y + 9$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

خطوة 1.3

أضف $0$ و $9$ .

$u_{lower} = 9$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $y$ في $u = y + 9$ .

$u_{upper} = 7 + 9$

خطوة 1.5

أضف $7$ و $9$ .

$u_{upper} = 16$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 16$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{9}^{16} \sqrt{u} d u$

خطوة 2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{9}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $16$ وفي $9$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.4

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.6

اضرب $2$ في $64$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.7

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.8

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

خطوة 4.2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

خطوة 4.2.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

خطوة 4.2.10

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27$

خطوة 4.2.11

اضرب $27$ في $- 1$ .

$\frac{128}{3} - 27 (\frac{2}{3})$

خطوة 4.2.12

اجمع $- 27$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3}$

خطوة 4.2.13

اضرب $- 27$ في $2$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 54}{3}$

خطوة 4.2.14

احذِف العامل المشترك لـ $- 54$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.14.1

أخرِج العامل $3$ من $- 54$ .

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3}$

خطوة 4.2.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.14.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)}$

خطوة 4.2.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1}$

خطوة 4.2.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{128}{3} + \frac{- 18}{1}$

خطوة 4.2.14.2.4

اقسِم $- 18$ على $1$ .

$\frac{128}{3} - 18$

خطوة 4.2.15

لكتابة $- 18$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} - 18 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.2.16

اجمع $- 18$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 18 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.2.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{128 - 18 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.2.18

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.18.1

اضرب $- 18$ في $3$ .

$\frac{128 - 54}{3}$

خطوة 4.2.18.2

اطرح $54$ من $128$ .

$\frac{74}{3}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{74}{3}$

الصيغة العشرية:

$24.\overline{6}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$24 \frac{2}{3}$

خطوة 6