حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} - 5 x + 2) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} - 5 x + 2$ و $g (x) = 5 x^{3} - x^{2} + 5$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - x^{2} + 5] + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{3} - x^{2} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

خطوة 2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

خطوة 2.4

اضرب $3$ في $5$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

خطوة 2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

خطوة 2.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

خطوة 2.8

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x + 0) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

خطوة 2.9

أضف $15 x^{2} - 2 x$ و $0$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

خطوة 2.10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 5 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 2.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 2.12

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 2.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 2.14

اضرب $- 5$ في $1$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 2.15

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 + 0)$

خطوة 2.16

أضف $2 x - 5$ و $0$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $1$ من $(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $1$ من $(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)$ .

$1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $1$ من $(5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$ .

$1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)) + 1 ((5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5))$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $1$ من $1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)) + 1 ((5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5))$ .

$1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5))$

خطوة 3.2

اضرب $(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$ في $1$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$(15 x^{2} - 2 x) (x^{2} - 5 x + 2) + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $(15 x^{2} - 2 x) (x^{2} - 5 x + 2)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$15 x^{2} x^{2} + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$15 (x^{2} x^{2}) + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$15 x^{2 + 2} + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.1.3

أضف $2$ و $2$ .

$15 x^{4} + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 x^{2} x + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

انقُل $x$ .

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 x^{1 + 2} + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.4

اضرب $15$ في $- 5$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.5

اضرب $2$ في $15$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.6

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.6.1

انقُل $x^{2}$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.6.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.6.3

أضف $2$ و $1$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.8

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.8.1

انقُل $x$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.8.2

اضرب $x$ في $x$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 x^{2} - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.9

اضرب $- 2$ في $- 5$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} + 10 x^{2} - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.2.10

اضرب $2$ في $- 2$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} + 10 x^{2} - 4 x + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.3

اطرح $2 x^{3}$ من $- 75 x^{3}$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 30 x^{2} + 10 x^{2} - 4 x + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.4

أضف $30 x^{2}$ و $10 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

خطوة 3.4.5

وسّع $(2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 x (5 x^{3}) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 x \cdot x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.2.1

انقُل $x^{3}$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 (x^{3} x) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6.2.2

اضرب $x^{3}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 (x^{3} x^{1}) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 x^{3 + 1} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6.2.3

أضف $3$ و $1$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 x^{4} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6.3

اضرب $2$ في $5$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6.5

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.5.1

انقُل $x^{2}$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6.5.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6.5.3

أضف $2$ و $1$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6.7

اضرب $5$ في $2$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6.8

اضرب $5$ في $- 5$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 25 x^{3} - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6.9

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 25 x^{3} + 5 x^{2} - 5 \cdot 5$

خطوة 3.4.6.10

اضرب $- 5$ في $5$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 25 x^{3} + 5 x^{2} - 25$

خطوة 3.4.7

اطرح $25 x^{3}$ من $- 2 x^{3}$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 27 x^{3} + 10 x + 5 x^{2} - 25$

خطوة 3.5

أضف $15 x^{4}$ و $10 x^{4}$ .

$25 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x - 27 x^{3} + 10 x + 5 x^{2} - 25$

خطوة 3.6

اطرح $27 x^{3}$ من $- 77 x^{3}$ .

$25 x^{4} - 104 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x + 5 x^{2} - 25$

خطوة 3.7

أضف $40 x^{2}$ و $5 x^{2}$ .

$25 x^{4} - 104 x^{3} + 45 x^{2} - 4 x + 10 x - 25$

خطوة 3.8

أضف $- 4 x$ و $10 x$ .

$25 x^{4} - 104 x^{3} + 45 x^{2} + 6 x - 25$