حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ و $g (x) = e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}] - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 6.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 6.2.2

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot 1) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 6.4

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 7

ارفع $e^{x} + e^{- x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{1} (e^{x} + e^{- x}) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 8

ارفع $e^{x} + e^{- x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{1} {(e^{x} + e^{- x})}^{1} - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{1 + 1} - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 10.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 12.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 12.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 13

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 13.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 13.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 13.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 13.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 14

ارفع $e^{x} - e^{- x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} - e^{- x})}^{1} (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 15

ارفع $e^{x} - e^{- x}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} - e^{- x})}^{1} {(e^{x} - e^{- x})}^{1})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 16

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{1 + 1}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 17

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = e^{x} + e^{- x}$ و $b = e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x} + e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

أضف $e^{x}$ و $e^{x}$ .

$\frac{(2 e^{x} + e^{- x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.2.2

اطرح $e^{- x}$ من $e^{- x}$ .

$\frac{(2 e^{x} + 0) (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.2.3

أضف $2 e^{x}$ و $0$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} - - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.2.5

اضرب $- - e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} + 1 e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.2.5.2

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.2.6

اطرح $e^{x}$ من $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} (0 + e^{- x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.2.7

أضف $0$ و $e^{- x}$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{- x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.2.8

أضف $e^{- x}$ و $e^{- x}$ .

$\frac{2 e^{x} \cdot 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.2.9

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.9.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 e^{x} e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.2.9.2

اضرب $e^{x}$ في $e^{- x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.9.2.1

انقُل $e^{- x}$ .

$\frac{4 (e^{- x} e^{x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.2.9.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 e^{- x + x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.2.9.2.3

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{4 e^{0}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

خطوة 18.2.9.3

بسّط $4 e^{0}$ .

$\frac{4}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$