حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (x + 6) (\frac{x}{x + 1})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x + 6$ و $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

$(x + 6) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}] + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + 1$ .

$(x + 6) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x + 6) \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

خطوة 3.2

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

خطوة 3.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

خطوة 3.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

خطوة 3.6.3

اطرح $x$ من $x$ .

$(x + 6) \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

خطوة 3.6.4

أضف $0$ و $1$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 3.9

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + 0)$

خطوة 3.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أضف $1$ و $0$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \cdot 1$

خطوة 3.10.2

اضرب $\frac{x}{x + 1}$ في $1$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1}$

خطوة 4

لكتابة $(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

خطوة 5

اجمع $(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ و $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1)}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

اضرب $x + 6$ في $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{x + 6}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

خطوة 7.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1

أخرِج العامل $x + 1$ من ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

خطوة 7.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

خطوة 7.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + x}{x + 1}$

خطوة 7.1.2

لكتابة $x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + \frac{x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

خطوة 7.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{x + 6 + x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

خطوة 7.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{x + 6 + x \cdot x + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

خطوة 7.1.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

خطوة 7.1.4.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x}{x + 1}}{x + 1}$

خطوة 7.1.4.4

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{\frac{2 x + 6 + x^{2}}{x + 1}}{x + 1}$

خطوة 7.1.4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$

خطوة 7.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

خطوة 7.2.2

اضرب $\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}$ في $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{(x + 1) (x + 1)}$

خطوة 7.2.3

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

خطوة 7.2.4

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

خطوة 7.2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

خطوة 7.2.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{2}}$