حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $x^{2} + 1$ في $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.7

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.8

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

خطوة 1.1.9

اجمع $4$ و $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.10.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.10.2.2

اضرب $4$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$- 4 x^{2} + 4 = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- 4 x^{2} = - 4$

خطوة 2.3.2

اقسِم كل حد في $- 4 x^{2} = - 4$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اقسِم كل حد في $- 4 x^{2} = - 4$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

خطوة 2.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

خطوة 2.3.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

خطوة 2.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 4$ .

$x^{2} = 1$

خطوة 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 2.3.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 2.3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 2.3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 2.3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$\frac{4 (1)}{{(1)}^{2} + 1}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{4}{1^{2} + 1}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{4}{1 + 1}$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{4}{2}$

خطوة 4.1.2.3

اقسِم $4$ على $2$ .

$2$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ .

$\frac{4 (- 1)}{{(- 1)}^{2} + 1}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{- 4}{1 + 1}$

خطوة 4.2.2.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 4}{2}$

خطوة 4.2.2.3

اقسِم $- 4$ على $2$ .

$- 2$

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

خطوة 5