حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} y'$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 3 y^{2} y'$

خطوة 2.4.2

اضرب $2$ في $3$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 y x + 3 y^{2} y'$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y'$

خطوة 3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

خطوة 5.1.2

اطرح $6 x y$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 x^{2} y' + 3 y^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 x^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2} = - 3 x^{2} - 6 x y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y' x^{2} + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ على $3 (x^{2} + y^{2})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ على $3 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6 x y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 5.3.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 5.3.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 5.3.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2} - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- x) - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 5.3.3.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x y$ .

$y' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 5.3.3.2.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x (- x) + x (- 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- x - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 5.3.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 5.3.3.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 y$ .

$y' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 5.3.3.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{x (- (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 5.3.3.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.6.1

أعِد كتابة $- (x + 2 y)$ بالصيغة $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 5.3.3.2.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 7

عيّن $\frac{d y}{d x} = 0$ ثم أوجِد قيمة $x$ بمعلومية $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x (x + 2 y) = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 2 y = 0$

خطوة 7.2.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 7.2.3

عيّن قيمة العبارة $x + 2 y$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

عيّن قيمة $x + 2 y$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 y = 0$

خطوة 7.2.3.2

اطرح $2 y$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2 y$

خطوة 7.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x + 2 y) = 0$ صحيحة.

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط $0^{3} + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3} = 8$

خطوة 8.1.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 + 3 \cdot (0 y) + y^{3} = 8$

خطوة 8.1.1.3

اضرب $0$ في $y$ .

$0 + 3 \cdot 0 + y^{3} = 8$

خطوة 8.1.1.4

اضرب $3$ في $0$ .

$0 + 0 + y^{3} = 8$

خطوة 8.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 + y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + y^{3} = 8$

خطوة 8.1.2.2

أضف $0$ و $y^{3}$ .

$y^{3} = 8$

خطوة 8.2

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$y^{3} - 8 = 0$

خطوة 8.3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$y^{3} - 2^{3} = 0$

خطوة 8.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = y$ و $b = 2$ .

$(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

خطوة 8.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2}) = 0$

خطوة 8.3.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

خطوة 8.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$y - 2 = 0$

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

خطوة 8.5

عيّن قيمة العبارة $y - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

عيّن قيمة $y - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y - 2 = 0$

خطوة 8.5.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 2$

خطوة 8.6

عيّن قيمة العبارة $y^{2} + 2 y + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

عيّن قيمة $y^{2} + 2 y + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

خطوة 8.6.2

أوجِد قيمة $y$ في $y^{2} + 2 y + 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 8.6.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 2$ و $c = 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.3.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.3.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.3.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 8.6.2.3.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

خطوة 8.6.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.4.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.4.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.4.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.4.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.4.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.4.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 8.6.2.4.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

خطوة 8.6.2.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

خطوة 8.6.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.5.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.5.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.5.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.5.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.5.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.5.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 8.6.2.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 8.6.2.5.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

خطوة 8.6.2.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

خطوة 8.6.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

خطوة 8.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$ صحيحة.

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط ${(- 2 y)}^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 y$ .

${(- 2)}^{3} y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

خطوة 9.1.1.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$- 8 y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

خطوة 9.1.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 y$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{2}) y + y^{3} = 8$

خطوة 9.1.1.4

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.4.1

انقُل $y$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y \cdot y^{2})) + y^{3} = 8$

خطوة 9.1.1.4.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.4.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y^{1} y^{2})) + y^{3} = 8$

خطوة 9.1.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{1 + 2}) + y^{3} = 8$

خطوة 9.1.1.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{3}) + y^{3} = 8$

خطوة 9.1.1.5

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$- 8 y^{3} + 3 (4 y^{3}) + y^{3} = 8$

خطوة 9.1.1.6

اضرب $4$ في $3$ .

$- 8 y^{3} + 12 y^{3} + y^{3} = 8$

خطوة 9.1.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أضف $- 8 y^{3}$ و $12 y^{3}$ .

$4 y^{3} + y^{3} = 8$

خطوة 9.1.2.2

أضف $4 y^{3}$ و $y^{3}$ .

$5 y^{3} = 8$

خطوة 9.2

اقسِم كل حد في $5 y^{3} = 8$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اقسِم كل حد في $5 y^{3} = 8$ على $5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

خطوة 9.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

خطوة 9.2.2.1.2

اقسِم $y^{3}$ على $1$ .

$y^{3} = \frac{8}{5}$

خطوة 9.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{8}{5}}$

خطوة 9.4

بسّط $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$

خطوة 9.4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.2.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2^{3}}}{\sqrt[3]{5}}$

خطوة 9.4.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}}$

خطوة 9.4.3

اضرب $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

خطوة 9.4.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

خطوة 9.4.4.2

ارفع $\sqrt[3]{5}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

خطوة 9.4.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

خطوة 9.4.4.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

خطوة 9.4.4.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 9.4.4.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 9.4.4.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 9.4.4.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 9.4.4.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

خطوة 9.4.4.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

خطوة 9.4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.5.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

خطوة 9.4.5.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5}$

خطوة 10

أوجِد النقاط حيث $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 2)$

$(0, - 1 + i \sqrt{3})$

$(0, - 1 - i \sqrt{3})$

$(- 2 y, \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5})$

خطوة 11