حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

خطوة 1

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

خطوة 2

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $3 x^{2} - 6 x$ و $0$ .

$3 x^{2} - 6 x$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $3 x$ من $3 x^{2} - 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $3 x$ من $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $3 x$ من $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $3 x$ من $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

خطوة 3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 3.4.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3 x (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ عند $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

خطوة 4.2.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $- 3$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

خطوة 4.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

خطوة 4.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$f (0) = 1$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 5

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ عند $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (2) = 8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

خطوة 5.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = 8 - 3 \cdot 4 + 1$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 3$ في $4$ .

$f (2) = 8 - 12 + 1$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $12$ من $8$ .

$f (2) = - 4 + 1$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 4$ و $1$ .

$f (2) = - 3$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 6

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ هي $y = 1, y = - 3$ .

$y = 1, y = - 3$

خطوة 7