حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 2 \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $2 \sec^{2} (t)$ موجبة.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.3

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أعِد كتابة $4 \sec^{2} (t)$ بالصيغة ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 \sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $2 \sec (t)$ من $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

خطوة 2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \tan (t)$ .

$\int {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

خطوة 2.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 (\tan (t))$ .

$\int 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

خطوة 2.2.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\int 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

خطوة 3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

خطوة 4

ارفع $\sec (t)$ إلى القوة $1$ .

$8 \int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 5

أخرِج عامل $\tan^{2} (t)$ .

$8 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 6

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

خطوة 7

بسّط.

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

خطوة 8

لنفترض أن $u = \sec (t)$ . إذن $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ ، لذا $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = \sec (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

خطوة 8.1.2

مشتق $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$8 \int - 1 + u^{2} d u$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$8 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$8 (- u + C + \int u^{2} d u)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$8 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

خطوة 12.2

بسّط.

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

خطوة 13

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sec (t)$ .

$8 (- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t)) + C$

خطوة 13.2

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$8 (- \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, \frac{x}{2})$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arctan (\frac{x}{2})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, \frac{x}{2})$ . إذن، $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ تساوي $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$8 (- \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

خطوة 14.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{2}$ .

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

خطوة 14.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

خطوة 14.1.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$8 (- \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

خطوة 14.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 (- \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

خطوة 14.1.6

أعِد كتابة $\frac{4 + x^{2}}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.6.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $4 + x^{2}$ .

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

خطوة 14.1.6.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

خطوة 14.1.6.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$8 (- \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

خطوة 14.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$8 (- (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}}) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

خطوة 14.1.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

خطوة 14.1.9

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.10

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.11

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.12

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.14

أعِد كتابة $\frac{4 + x^{2}}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.14.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $4 + x^{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.14.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.14.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}^{3}) + C$

خطوة 14.1.15

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}})}^{3}) + C$

خطوة 14.1.16

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2})}^{3}) + C$

خطوة 14.1.17

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{2^{3}}) + C$

خطوة 14.1.18

اجمع.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1 {\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

خطوة 14.1.19

اضرب ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ في $1$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

خطوة 14.1.20

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 8}) + C$

خطوة 14.1.21

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.21.1

أعِد كتابة ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}}{3 \cdot 8}) + C$

خطوة 14.1.21.2

أخرِج عامل ${(4 + x^{2})}^{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{2} (4 + x^{2})}}{3 \cdot 8}) + C$

خطوة 14.1.21.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{(4 + x^{2}) \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

خطوة 14.1.21.4

طبّق خاصية التوزيع.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

خطوة 14.1.21.5

أخرِج العامل $\sqrt{4 + x^{2}}$ من $4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.21.5.1

أخرِج العامل $\sqrt{4 + x^{2}}$ من $4 \sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

خطوة 14.1.21.5.2

أخرِج العامل $\sqrt{4 + x^{2}}$ من $x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}}{3 \cdot 8}) + C$

خطوة 14.1.21.5.3

أخرِج العامل $\sqrt{4 + x^{2}}$ من $\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3 \cdot 8}) + C$

خطوة 14.1.22

اضرب $3$ في $8$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

خطوة 14.2

لكتابة $- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{12}{12}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{12}{12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

خطوة 14.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $24$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ في $\frac{12}{12}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{2 \cdot 12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

خطوة 14.3.2

اضرب $2$ في $12$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{24} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

خطوة 14.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24} + C$

خطوة 14.5

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

أخرِج العامل $8$ من $24$ .

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 (3)} + C$

خطوة 14.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 \cdot 3} + C$

خطوة 14.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

خطوة 14.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.1

أخرِج العامل $\sqrt{4 + x^{2}}$ من $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.1.1

أخرِج العامل $\sqrt{4 + x^{2}}$ من $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

خطوة 14.6.1.2

أخرِج العامل $\sqrt{4 + x^{2}}$ من $\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

خطوة 14.6.2

اضرب $- 1$ في $12$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

خطوة 14.6.3

أضف $- 12$ و $4$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 8 + x^{2})}{3} + C$

خطوة 14.7

أعِد كتابة $- 8$ بالصيغة $- 1 (8)$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) + x^{2})}{3} + C$

خطوة 14.8

أخرِج العامل $- 1$ من $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) - 1 (- x^{2}))}{3} + C$

خطوة 14.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (8) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8 - x^{2}))}{3} + C$

خطوة 14.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (8 - x^{2})}{3} + C$