حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \ln (5 x - 4) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (5 x - 4)$ و $d v = 1$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int x \frac{5}{5 x - 4} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $x$ و $\frac{5}{5 x - 4}$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{x \cdot 5}{5 x - 4} d x$

خطوة 2.2

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{5 x}{5 x - 4} d x$

خطوة 3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$\ln (5 x - 4) x - (5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x)$

خطوة 4

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x$

خطوة 5

اقسِم $x$ على $5 x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$5 x$

$4$

$x$

$0$

خطوة 5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $5 x$ .

					$\frac{1}{5}$
	$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$

خطوة 5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{4}{5}$

خطوة 5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x - \frac{4}{5}$

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$

خطوة 5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$
					+	$\frac{4}{5}$

خطوة 5.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{1}{5} + \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\int \frac{1}{5} d x + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

خطوة 7

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

خطوة 8

بما أن $\frac{4}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{4}{5}$ خارج التكامل.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 x - 4} d x)$

خطوة 9

لنفترض أن $u = 5 x - 4$ . إذن $d u = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = 5 x - 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $5 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 4]$

خطوة 9.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 9.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 9.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 9.1.3.3

اضرب $5$ في $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 9.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.4.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 + 0$

خطوة 9.1.4.2

أضف $5$ و $0$ .

$5$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u \cdot 5} d u)$

خطوة 10.2

انقُل $5$ إلى يسار $u$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 \cdot u} d u)$

خطوة 10.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 u} d u)$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u))$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{4}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5 \cdot 5} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 12.2

اضرب $5$ في $5$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 13

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} (\ln (| u |) + C))$

خطوة 14

بسّط.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| u |)) + C$

خطوة 15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x - 4$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

خطوة 16.1.2

اجمع $\frac{4}{25}$ و $\ln (| 5 x - 4 |)$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

خطوة 16.2

لكتابة $\frac{x}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

خطوة 16.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $25$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

اضرب $\frac{x}{5}$ في $\frac{5}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

خطوة 16.3.2

اضرب $5$ في $5$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{25} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

خطوة 16.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (5 x - 4) x - 5 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

خطوة 16.5

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5$ .

$\ln (5 x - 4) x + 5 (- 1) \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

خطوة 16.5.2

أخرِج العامل $5$ من $25$ .

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

خطوة 16.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

خطوة 16.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (5 x - 4) x - \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

خطوة 16.6

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - \frac{5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

خطوة 17

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (5 x - 4) x - \frac{1}{5} (5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)) + C$