حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} x^{9} {(1 + x^{10})}^{9} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + x^{10}$ . إذن $d u = 10 x^{9} d x$ ، لذا $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + x^{10}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{10}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{10}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{10}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 10$ .

$0 + 10 x^{9}$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $10 x^{9}$ .

$10 x^{9}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + x^{10}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{10}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + x^{10}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{10}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{2} u^{9} \frac{1}{10} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{9}$ و $\frac{1}{10}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{9}}{10} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{10}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{10} \int_{1}^{2} u^{9} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{9}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{10} \frac{1}{10} u^{10}]_{1}^{2}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{10} u^{10}$ في $2$ وفي $1$ .

$\frac{1}{10} ((\frac{1}{10} \cdot 2^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $10$ .

$\frac{1}{10} (\frac{1}{10} \cdot 1024 - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{10}$ و $1024$ .

$\frac{1}{10} (\frac{1024}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

خطوة 5.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $1024$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $1024$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 (512)}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

خطوة 5.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

خطوة 5.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

خطوة 5.2.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1)$

خطوة 5.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10})$

خطوة 5.2.6

لكتابة $\frac{512}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10})$

خطوة 5.2.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $10$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

اضرب $\frac{512}{5}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{10})$

خطوة 5.2.7.2

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{10} - \frac{1}{10})$

خطوة 5.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{512 \cdot 2 - 1}{10}$

خطوة 5.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.1

اضرب $512$ في $2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1024 - 1}{10}$

خطوة 5.2.9.2

اطرح $1$ من $1024$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1023}{10}$

خطوة 5.2.10

اضرب $\frac{1}{10}$ في $\frac{1023}{10}$ .

$\frac{1023}{10 \cdot 10}$

خطوة 5.2.11

اضرب $10$ في $10$ .

$\frac{1023}{100}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1023}{100}$

الصيغة العشرية:

$10.23$

صيغة العدد الذي به كسر:

$10 \frac{23}{100}$

خطوة 7