حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 3 x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = x^{2} - 3$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = x^{2} - 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 2.1.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 \int u^{7} \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

اجمع $u^{7}$ و $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{7}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{2} \int u^{7} d u)$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $3$ .

$\frac{3}{2} \int u^{7} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{7}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ بالصيغة $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 8} u^{8} + C$

خطوة 7.2.2

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{3}{16} u^{8} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 3$ .

$\frac{3}{16} {(x^{2} - 3)}^{8} + C$