حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \sqrt{4 - x} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sqrt{4 - x}$ .

$x (- \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{2}{3}$ .

$x (- \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 2.2

اجمع $x$ و $\frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x ({(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 2.3

انقُل $2$ إلى يسار ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 3

بما أن $- \frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- \frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{2}{3} \int {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 4 - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 4 - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $4 - x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 5.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - 1$

خطوة 5.1.4

اطرح $1$ من $0$ .

$- 1$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

خطوة 8.2

أعِد كتابة $- \frac{x (2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ بالصيغة $- \frac{2}{3} x {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$- \frac{2}{3} x {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع $x$ و $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 8.3.2

اجمع ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{x \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 8.3.3

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 8.3.4

انقُل $2$ إلى يسار ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 8.3.5

اجمع $u^{\frac{5}{2}}$ و $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

خطوة 8.3.6

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{2 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}{3 \cdot 5} + C$

خطوة 8.3.7

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

خطوة 8.3.8

اضرب $3$ في $5$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 8.3.9

لكتابة $- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 8.3.10

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.10.1

اضرب $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 8.3.10.2

اضرب $3$ في $5$ .

$- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 8.3.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 8.3.12

اضرب $5$ في $- 2$ .

$\frac{- 10 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 - x$ .

$\frac{- 10 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{15} (- 10 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$