حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} \sqrt{x + 1} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = \sqrt{x + 1}$ .

$x^{2} (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{2} \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{2}{3} \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{3} \cdot 2$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u - 1) d u$

خطوة 6

وسّع $u^{\frac{3}{2}} (u - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d u$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب $u^{\frac{3}{2}}$ و $- 1$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u - 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 6.3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 6.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 6.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 6.7

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 7

أعِد كتابة $- 1 u^{\frac{3}{2}}$ بالصيغة $- u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{5}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

خطوة 12.1.2

اجمع $\frac{2}{7}$ و $u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

خطوة 12.2

بسّط.

$\frac{2}{3} x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 12.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 12.3.2

اجمع $\frac{2 x^{2}}{3}$ و ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 12.3.3

لكتابة $- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C$

خطوة 12.3.4

اجمع $- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

خطوة 12.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

خطوة 12.3.6

اجمع $\frac{2}{7}$ و $u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

خطوة 12.3.7

اجمع $u^{\frac{5}{2}}$ و $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) \cdot 3}{3} + C$

خطوة 12.3.8

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

خطوة 12.3.9

اجمع $- 3$ و $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

خطوة 12.3.10

اضرب $- 3$ في $4$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

خطوة 12.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.11.1

أخرِج العامل $3$ من $- 12$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

خطوة 12.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.11.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

خطوة 12.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

خطوة 12.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

خطوة 12.3.11.2.4

اقسِم $- 4$ على $1$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

خطوة 12.3.12

انقُل $2$ إلى يسار $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} (2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{7} {(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} {(x + 1)}^{\frac{5}{2}})) + C$