حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \sin (4 x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (4 x)$ .

$x (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\cos (4 x)$ و $\frac{1}{4}$ .

$x (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x$ و $\frac{\cos (4 x)}{4}$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

خطوة 3

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- \frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 4 x$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

خطوة 6

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \cos (u) d u$

خطوة 8.2

اضرب $4$ في $4$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

خطوة 9

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة $- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$ .

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x}{4} \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

خطوة 10.2.2

اجمع $\cos (4 x)$ و $\frac{x}{4}$ .

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\cos (4 x) x}{4}$ .

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$