حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \ln (3 + x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (3 + x)$ و $d v = x$ .

$\ln (3 + x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 3} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\ln (3 + x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 3} d x$

خطوة 2.2

اجمع $\ln (3 + x)$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 3} d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 3} d x)$

خطوة 4

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x + 3}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 3} d x$

خطوة 5

اقسِم $x^{2}$ على $x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

خطوة 5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$

خطوة 5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + 3 x$

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$

خطوة 5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$

خطوة 5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$

خطوة 5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 3 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$

خطوة 5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$9$

خطوة 5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 3 x - 9$

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$9$

خطوة 5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$9$
							+	$9$

خطوة 5.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 3 + \frac{9}{x + 3} d x$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{9}{x + 3} d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x + \int \frac{9}{x + 3} d x)$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int \frac{9}{x + 3} d x)$

خطوة 9

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + 9 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

خطوة 10

لنفترض أن $u = x + 3$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = x + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

خطوة 10.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 10.1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 10.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + 9 \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 11

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + 9 (\ln (| u |) + C))$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (3 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) + C$

خطوة 12.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (3 + x)$ .

$\frac{\ln (3 + x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) + C$

خطوة 12.2.2

اجمع $\frac{\ln (3 + x)}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) + C$

خطوة 12.2.3

لكتابة $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

خطوة 12.2.4

اجمع $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 12.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 12.2.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

خطوة 12.2.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

خطوة 12.2.8

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

خطوة 12.2.9

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.9.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

خطوة 12.2.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

خطوة 12.2.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

خطوة 12.2.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

خطوة 12.2.9.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 3$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| x + 3 |))}{2} + C$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

لكتابة $9 \ln (| x + 3 |)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2}}{2} + 9 \ln (| x + 3 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

خطوة 14.2

اجمع $9 \ln (| x + 3 |)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{9 \ln (| x + 3 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

خطوة 14.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2} + 9 \ln (| x + 3 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

خطوة 14.4

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |)}{2})}{2} + C$

خطوة 14.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x) - \frac{x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |)}{2}}{2} + C$

خطوة 14.6

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + 3 x - \frac{x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |)}{2}}{2} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} (\ln (3 + x) x^{2} + 3 x - \frac{1}{2} (x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |))) + C$