حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 100}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 10 \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 10 \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $10 \sec^{2} (t)$ موجبة.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(10 \tan (t))}^{2} + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{{(10 \tan (t))}^{2} + 100}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $10 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{10^{2} \tan^{2} (t) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 \tan^{2} (t) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $100$ من $100 \tan^{2} (t) + 100$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أخرِج العامل $100$ من $100 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t)) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل $100$ من $100$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t)) + 100 (1)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2.3

أخرِج العامل $100$ من $100 (\tan^{2} (t)) + 100 (1)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t) + 1)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.3

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{\sqrt{100 \sec^{2} (t)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أعِد كتابة $100 \sec^{2} (t)$ بالصيغة ${(10 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(10 \sec (t))}^{2}}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $10 \sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $10 \sec (t)$ من $10 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec (t) (\sec (t))) d t$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \sec (t) d t$

خطوة 3

تكامل $\sec (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

خطوة 4

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (\frac{x}{10})$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{10})) + \tan (\arctan (\frac{x}{10})) |) + C$

خطوة 5

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{10} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{10} x)) |) + C$