حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} {(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$ بالصيغة $e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})$ بنقل $\frac{1}{x}$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\ln (e^{x} + x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.3

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{\frac{\ln (e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{\frac{\ln (e^{0} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{\frac{\ln (e^{0} + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.5.2

أضف $1$ و $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.2.5.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = e^{x} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $e^{x} + x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e^{x} + x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.6.2

اضرب $e^{x} + 1$ في $\frac{1}{e^{x} + x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 3.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{1}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} \cdot 1}$

خطوة 3.5

اضرب $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

خطوة 4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

خطوة 4.3

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

خطوة 4.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

خطوة 4.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 4.6

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{\frac{e^{0} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{\frac{e^{0} + 1}{e^{0} + lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 5.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{\frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$e^{\frac{1 + 1}{e^{0} + 0}}$

خطوة 6.1.2

أضف $1$ و $1$ .

$e^{\frac{2}{e^{0} + 0}}$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$e^{\frac{2}{1 + 0}}$

خطوة 6.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$e^{\frac{2}{1}}$

خطوة 6.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$e^{2}$