حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y \sin (x^{2}) = x \sin (y^{2})$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y \sin (x^{2})) = \frac{d}{d x} (x \sin (y^{2}))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y$ و $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$y (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$y (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) y'$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (y^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y^{2})] + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y^{2}$ .

$x (\cos (y^{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$x \cos (y^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x \cos (y^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \cdot 1$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اضرب $\sin (y^{2})$ في $1$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2})$

خطوة 3.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y' = 2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y'$ .

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) = 2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$ .

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) = 2 x y y' \cos (y^{2}) + \sin (y^{2})$

خطوة 5.3

اطرح $2 x y y' \cos (y^{2})$ من كلا المتعادلين.

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2})$

خطوة 5.4

اطرح $2 x y \cos (x^{2})$ من كلا المتعادلين.

$y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

خطوة 5.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' \sin (x^{2})$ .

$y' (\sin (x^{2})) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

خطوة 5.5.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 x y y' \cos (y^{2})$ .

$y' (\sin (x^{2})) + y' (- 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

خطوة 5.5.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (\sin (x^{2})) + y' (- 2 x y \cos (y^{2}))$ .

$y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$ على $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$ على $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ .

$\frac{y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2}))}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 5.6.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} - \frac{2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

خطوة 5.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{\sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$