حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + 6 y^{2} + 6 y = 20$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 6 y^{2} + 6 y) = \frac{d}{d x} (20)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 6 y^{2} + 6 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 6 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + 6 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + 6 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + 6 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [6 y]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 6 (2 y y') + \frac{d}{d x} [6 y]$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $6$ .

$2 x + 12 y y' + \frac{d}{d x} [6 y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 12 y y' + 6 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 12 y y' + 6 y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$12 y y' + 2 x + 6 y'$

خطوة 3

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $20$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$12 y y' + 2 x + 6 y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$12 y y' + 6 y' = - 2 x$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $6 y'$ من $12 y y' + 6 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $6 y'$ من $12 y y'$ .

$6 y' (2 y) + 6 y' = - 2 x$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $6 y'$ من $6 y'$ .

$6 y' (2 y) + 6 y' \cdot 1 = - 2 x$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $6 y'$ من $6 y' (2 y) + 6 y' \cdot 1$ .

$6 y' (2 y + 1) = - 2 x$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $6 y' (2 y + 1) = - 2 x$ على $6 (2 y + 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $6 y' (2 y + 1) = - 2 x$ على $6 (2 y + 1)$ .

$\frac{6 y' (2 y + 1)}{6 (2 y + 1)} = \frac{- 2 x}{6 (2 y + 1)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 y' (2 y + 1)}{6 (2 y + 1)} = \frac{- 2 x}{6 (2 y + 1)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 (2 y + 1)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 (2 y + 1)}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{6 (2 y + 1)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{6 (2 y + 1)}$

خطوة 5.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6 (2 y + 1)$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (3 (2 y + 1))}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (3 (2 y + 1))}$

خطوة 5.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- x}{3 (2 y + 1)}$

خطوة 5.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x}{3 (2 y + 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{3 (2 y + 1)}$