حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{e^{- t}}{1 + t^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = e^{- t}$ و $g (t) = 1 + t^{2}$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = - t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- t$ .

$\frac{(1 + t^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + t^{2}) (e^{u} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- t$ .

$\frac{(1 + t^{2}) (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} (- 1 \cdot 1) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(1 + t^{2}) e^{- t} \cdot - 1 - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $(1 + t^{2}) e^{- t}$ .

$\frac{- 1 \cdot ((1 + t^{2}) e^{- t}) - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $- 1 (1 + t^{2})$ بالصيغة $- (1 + t^{2})$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 3.6

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - e^{- t} (2 t)}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 3.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- (1 + t^{2}) e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(- 1 \cdot 1 - t^{2}) e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 1 \cdot 1 e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- 1 e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 4.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 e^{- t}$ بالصيغة $- e^{- t}$ .

$\frac{- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 4.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} t$ .

$\frac{- e^{- t} - t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t}}{{(1 + t^{2})}^{2}}$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- e^{- t} t^{2} - 2 e^{- t} t - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أخرِج العامل $e^{- t}$ من $- e^{- t} t^{2} - 2 e^{- t} t - e^{- t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

أخرِج العامل $e^{- t}$ من $- e^{- t} t^{2}$ .

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) - 2 e^{- t} t - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.2

أخرِج العامل $e^{- t}$ من $- 2 e^{- t} t$ .

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) - e^{- t}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.3

أخرِج العامل $e^{- t}$ من $- e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) + e^{- t} \cdot - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.4

أخرِج العامل $e^{- t}$ من $e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t)$ .

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.5

أخرِج العامل $e^{- t}$ من $e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ ومجموعهما $b = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 t$ .

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 2 (t) - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.2.1.2

أعِد كتابة $- 2$ في صورة $- 1$ زائد $- 1$

$\frac{e^{- t} (- t^{2} + (- 1 - 1) t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{- t} (- t^{2} - 1 t - 1 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{e^{- t} ((- t^{2} - 1 t) - 1 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{e^{- t} (t (- t - 1) + 1 (- t - 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- t - 1$ .

$\frac{e^{- t} ((- t - 1) (t + 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{e^{- t} (- t - 1) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.3

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- t$ .

$\frac{e^{- t} (- (t) - 1) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.3.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{e^{- t} (- (t) - 1 (1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (t) - 1 (1)$ .

$\frac{e^{- t} (- (t + 1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.3.4

أعِد كتابة $- (t + 1)$ بالصيغة $- 1 (t + 1)$ .

$\frac{e^{- t} (- 1 (t + 1)) (t + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.3.5

ارفع $t + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 ({(t + 1)}^{1} (t + 1))}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.3.6

ارفع $t + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 ({(t + 1)}^{1} {(t + 1)}^{1})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 {(t + 1)}^{1 + 1}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.3.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{e^{- t} \cdot - 1 {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.4

أخرِج السالب.

$\frac{- e^{- t} {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{e^{- t} {(t + 1)}^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$