حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{3} + x + 4}{2 x}$

خطوة 1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{3} + x + 4}{2 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + x + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + x + 4}{x}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{3} + x + 4$ و $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + x + 4] - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1 + 0) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.5

أضف $3 x^{2} + 1$ و $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 3.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4)}{x^{2}}$

خطوة 3.7.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4)}{2 x^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - (x^{3} + x + 4)}{2 x^{2}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

خطوة 4.3.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

خطوة 4.3.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

خطوة 4.3.1.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

خطوة 4.3.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

خطوة 4.3.1.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 4}{2 x^{2}}$

خطوة 4.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x^{3} + x - x^{3} - x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} + 0 - 4}{2 x^{2}}$

خطوة 4.3.2.2

أضف $3 x^{3} - x^{3}$ و $0$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 4}{2 x^{2}}$

خطوة 4.3.3

اطرح $x^{3}$ من $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 4}{2 x^{2}}$

خطوة 4.4

احذِف العامل المشترك لـ $2 x^{3} - 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3}) - 4}{2 x^{2}}$

خطوة 4.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 2 \cdot - 2}{2 x^{2}}$

خطوة 4.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{3}) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (x^{3} - 2)}{2 x^{2}}$

خطوة 4.4.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 2)}{2 (x^{2})}$

خطوة 4.4.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x^{3} - 2)}{2 x^{2}}$

خطوة 4.4.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{3} - 2}{x^{2}}$