حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{3 x}{x^{2} + 1}$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 x}{x^{2} + 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

$3 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب $x^{2} + 1$ في $1$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 7

أضف $1$ و $1$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 8

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$3 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 9

اجمع $3$ و $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 10.2.2

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$