حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{8}{x^{2} + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{8}{x^{2} + 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} + 1}$ بالصيغة ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$8 (- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8 ({(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 1.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

خطوة 1.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

خطوة 1.3.5.2

اضرب $2$ في $- 8$ .

$- 16 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

خطوة 1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اجمع $- 16$ و $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

خطوة 1.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

خطوة 1.4.2.3

اجمع $x$ و $\frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.4.2.4

انقُل $16$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.3.3

اضرب ${(x^{2} + 1)}^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.2

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.2.2

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.5.2.3

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

خطوة 2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.10.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.11

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.14

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.15

اطرح $4 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.16

اجمع $- 16$ و $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.17

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{(16) (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.18.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2}) + 16 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.18.2.1

اضرب $- 3$ في $16$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 16 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.2.2

اضرب $16$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.3

أخرِج العامل $16$ من $- 48 x^{2} + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.18.3.1

أخرِج العامل $16$ من $- 48 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2}) + 16}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.3.2

أخرِج العامل $16$ من $16$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2}) + 16 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.3.3

أخرِج العامل $16$ من $16 (- 3 x^{2}) + 16 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.7

أعِد كتابة $- (3 x^{2} - 1)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 2.18.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

خطوة 2.18.10

اضرب $\frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{8}{x^{2} + 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} + 1})$

خطوة 4.1.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} + 1}$ بالصيغة ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

خطوة 4.1.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$f' (x) = 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

خطوة 4.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = 8 (- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اضرب $- 1$ في $8$ .

$f' (x) = - 8 ({(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

خطوة 4.1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 4.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

خطوة 4.1.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

خطوة 4.1.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

خطوة 4.1.3.5.2

اضرب $2$ في $- 8$ .

$f' (x) = - 16 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

خطوة 4.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 16 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

خطوة 4.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.2.1

اجمع $- 16$ و $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

خطوة 4.1.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

خطوة 4.1.4.2.3

اجمع $x$ و $\frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.1.4.2.4

انقُل $16$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = - \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$16 x = 0$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $16 x = 0$ على $16$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $16 x = 0$ على $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{0}{16}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{16 x}{16} = \frac{0}{16}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{16}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اقسِم $0$ على $16$ .

$x = 0$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{16 (3 {(0)}^{2} - 1)}{{({(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{16 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{16 (0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9.1.3

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{16 \cdot - 1}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{16 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

خطوة 9.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{16 \cdot - 1}{1^{3}}$

خطوة 9.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{16 \cdot - 1}{1}$

خطوة 9.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $16$ في $- 1$ .

$\frac{- 16}{1}$

خطوة 9.3.2

اقسِم $- 16$ على $1$ .

$- 16$

خطوة 10

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{8}{{(0)}^{2} + 1}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{8}{0 + 1}$

خطوة 11.2.1.2

أضف $0$ و $1$ .

$f (0) = \frac{8}{1}$

خطوة 11.2.2

اقسِم $8$ على $1$ .

$f (0) = 8$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $8$ .

$y = 8$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{8}{x^{2} + 1}$ .

$(0, 8)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 13