حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (x) - \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

خطوة 2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

خطوة 2.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 5

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6

افصِل الكسور.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 8

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 9

افصِل الكسور.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 10

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 11

اقسِم $0$ على $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

خطوة 12

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

خطوة 13

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \tan (x) = - 1$

خطوة 14

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 14.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 14.2.2

اقسِم $\tan (x)$ على $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 14.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

خطوة 15

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (1)$

خطوة 16

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 17

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{4}$

خطوة 18

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 18.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 18.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 18.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 18.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 19

حل المعادلة $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

خطوة 20

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 21

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 21.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 21.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

خطوة 21.2.2

اطرح $\sqrt{2}$ من $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 21.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

خطوة 21.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

خطوة 21.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

خطوة 21.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

خطوة 21.2.3.2.4

اقسِم $- \sqrt{2}$ على $1$ .

$- \sqrt{2}$

خطوة 22

$x = \frac{π}{4}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{4}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 23

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 23.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 23.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 23.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

خطوة 23.2.2.2

أضف $\sqrt{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 23.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 23.2.2.3.2

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

خطوة 23.2.3

الإجابة النهائية هي $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

خطوة 24

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{5 π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 25

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الثالث.

$- - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 25.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 25.1.3

اضرب $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 25.1.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 25.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 25.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 25.1.6

اضرب $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 25.1.6.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 25.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

خطوة 25.2.2

أضف $\sqrt{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 25.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 25.2.3.2

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$\sqrt{2}$

خطوة 26

$x = \frac{5 π}{4}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{5 π}{4}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 27

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{5 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 27.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.1.1

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 27.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

خطوة 27.2.1.3

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 27.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 27.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

خطوة 27.2.2.2

اطرح $\sqrt{2}$ من $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 27.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

خطوة 27.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

خطوة 27.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

خطوة 27.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

خطوة 27.2.2.3.2.4

اقسِم $- \sqrt{2}$ على $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$

خطوة 27.2.3

الإجابة النهائية هي $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

خطوة 28

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 29