حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{x + 12}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 12}$ في صورة ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 12)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 12$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 12$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 1.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 1.7.3

انقُل ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 1.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (12))$

خطوة 1.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (12))$

خطوة 1.10

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

خطوة 1.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 1.11.2

اضرب $\frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 2.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${({(x + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

خطوة 2.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

خطوة 2.1.2.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 12)}^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 2.1.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 12)}^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 12$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 12$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 12)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 12)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 12)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 12)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 12)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 2.6.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 12)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 2.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(x + 12)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 2.7.2

اجمع ${(x + 12)}^{- \frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(x + 12)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 2.7.3

انقُل ${(x + 12)}^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 2.7.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 {(x + 12)}^{\frac{3}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 2.7.5

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 12)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 12)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (12))$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 12)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (12))$

خطوة 2.10

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 12)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (1 + 0)$

خطوة 2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 12)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

خطوة 2.11.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{4 {(x + 12)}^{\frac{3}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 12)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 12)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x + 12)}^{\frac{3}{2}}}$ بالصيغة ${({(x + 12)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {({(x + 12)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

خطوة 3.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x + 12)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 12)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

خطوة 3.1.2.2.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 12)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

خطوة 3.1.2.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 12)}^{\frac{- 3}{2}}$

خطوة 3.1.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x + 12)}^{- \frac{3}{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ و $g (x) = x + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 12$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 12$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 12)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 12)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 12)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 12)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 12)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 3.6.2

اطرح $2$ من $- 3$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 12)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 3.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot {(x + 12)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 3.7.2

اجمع ${(x + 12)}^{- \frac{5}{2}}$ و $\frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{{(x + 12)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 3.7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

انقُل $3$ إلى يسار ${(x + 12)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3 \cdot {(x + 12)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 3.7.3.2

انقُل ${(x + 12)}^{- \frac{5}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2 {(x + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 3.7.3.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot (\frac{3}{2 {(x + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 3.7.3.4

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{3}{2 {(x + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 3.7.4

اضرب $\frac{3}{2 {(x + 12)}^{\frac{5}{2}}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$f''' (x) = \frac{3}{2 {(x + 12)}^{\frac{5}{2}} \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 3.7.5

اضرب $4$ في $2$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 3.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (12))$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (12))$

خطوة 3.10

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (1 + 0)$

خطوة 3.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 12)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 1$

خطوة 3.11.2

اضرب $\frac{3}{8 {(x + 12)}^{\frac{5}{2}}}$ في $1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 12)}^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بما أن $\frac{3}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{8 {(x + 12)}^{\frac{5}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 12)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 12)}^{\frac{5}{2}}})$

خطوة 4.1.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x + 12)}^{\frac{5}{2}}}$ بالصيغة ${({(x + 12)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 12)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1})$

خطوة 4.1.2.2

اضرب الأُسس في ${({(x + 12)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 12)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1})$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.2.1

اجمع $\frac{5}{2}$ و $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 12)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}})$

خطوة 4.1.2.2.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 12)}^{\frac{- 5}{2}})$

خطوة 4.1.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 12)}^{- \frac{5}{2}})$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ و $g (x) = x + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 12$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 12$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 12)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 12)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 12)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 12)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 12)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 4.6.2

اطرح $2$ من $- 5$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 12)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 4.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} \cdot {(x + 12)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 4.7.2

اجمع ${(x + 12)}^{- \frac{7}{2}}$ و $\frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{{(x + 12)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 4.7.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.3.1

انقُل $5$ إلى يسار ${(x + 12)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5 \cdot {(x + 12)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 4.7.3.2

انقُل ${(x + 12)}^{- \frac{7}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2 {(x + 12)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12))$

خطوة 4.7.4

اضرب $\frac{3}{8}$ في $\frac{5}{2 {(x + 12)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{3 \cdot 5}{8 (2 {(x + 12)}^{\frac{7}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 4.7.5

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.5.1

اضرب $3$ في $5$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{8 (2 {(x + 12)}^{\frac{7}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 4.7.5.2

اضرب $2$ في $8$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 12)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 12)$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 12)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (12))$

خطوة 4.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 12)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (12))$

خطوة 4.10

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 12)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (1 + 0)$

خطوة 4.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 12)}^{\frac{7}{2}}} \cdot 1$

خطوة 4.11.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 12)}^{\frac{7}{2}}}$