حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x {(x - 4)}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 4$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 4$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.3.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.3.4.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

خطوة 1.3.6

اضرب ${(x - 4)}^{3}$ في $1$ .

$f' (x) = x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل ${(x - 4)}^{2}$ من $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

أخرِج العامل ${(x - 4)}^{2}$ من $x (3 {(x - 4)}^{2})$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

خطوة 1.4.1.2

أخرِج العامل ${(x - 4)}^{2}$ من ${(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

خطوة 1.4.1.3

أخرِج العامل ${(x - 4)}^{2}$ من ${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

خطوة 1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

خطوة 1.4.2.2

أضف $3 x$ و $x$ .

$f' (x) = {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة ${(x - 4)}^{2}$ بالصيغة $(x - 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = (x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

خطوة 1.4.4

وسّع $(x - 4) (x - 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

خطوة 1.4.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

خطوة 1.4.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

خطوة 1.4.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

خطوة 1.4.5.1.2

انقُل $- 4$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

خطوة 1.4.5.1.3

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$f' (x) = (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

خطوة 1.4.5.2

اطرح $4 x$ من $- 4 x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

خطوة 1.4.6

وسّع $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$f' (x) = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

خطوة 1.4.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f' (x) = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

خطوة 1.4.7.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.2.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

خطوة 1.4.7.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

خطوة 1.4.7.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

خطوة 1.4.7.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

خطوة 1.4.7.3

انقُل $- 4$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

خطوة 1.4.7.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

خطوة 1.4.7.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.5.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

خطوة 1.4.7.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

خطوة 1.4.7.6

اضرب $- 8$ في $4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

خطوة 1.4.7.7

اضرب $- 4$ في $- 8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

خطوة 1.4.7.8

اضرب $4$ في $16$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

خطوة 1.4.7.9

اضرب $16$ في $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

خطوة 1.4.8

اطرح $32 x^{2}$ من $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

خطوة 1.4.9

أضف $32 x$ و $64 x$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 36 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $96$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $96 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 2.4.3

اضرب $96$ في $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $- 64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 64$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

خطوة 2.5.2

أضف $12 x^{2} - 72 x + 96$ و $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{2} - 72 x + 96$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [96]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f''' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

خطوة 3.2.3

اضرب $2$ في $12$ .

$f''' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (96)$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 72$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 72 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (96)$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (96)$

خطوة 3.3.3

اضرب $- 72$ في $1$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 + \frac{d}{d x} (96)$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $96$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $96$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f''' (x) = 24 x - 72 + 0$

خطوة 3.4.2

أضف $24 x - 72$ و $0$ .

$f''' (x) = 24 x - 72$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $24 x - 72$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $24 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)$

خطوة 4.2.3

اضرب $24$ في $1$ .

$f^{4} (x) = 24 + \frac{d}{d x} (- 72)$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 72$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 72$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f^{4} (x) = 24 + 0$

خطوة 4.3.2

أضف $24$ و $0$ .

$f^{4} (x) = 24$