حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{2}}{3 - x^{3}} d x$

خطوة 1

أعِد كتابة $x^{3}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{2}}{3 - {(x^{3})}^{1}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{1} = x^{3}$ . إذن $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{1} = x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 - {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط.

$\int \frac{1}{3 - u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{1}{3 - u_{1}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(3 - u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

خطوة 3.3

انقُل $3$ إلى يسار $3 - u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 (3 - u_{1})} d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - u_{1}} d u_{1}$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{2} = 3 - u_{1}$ . إذن $d u_{2} = - d u_{1}$ ، لذا $- d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{2} = 3 - u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 5.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

$\frac{1}{3} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} + C$

خطوة 10

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 - u_{1}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - u_{1} |)}{3} + C$

خطوة 10.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{3}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - x^{3} |)}{3} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - x^{3} |) + C$