حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sqrt{36 - x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 6 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 6 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $6 \cos (t)$ موجبة.

$\int \sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $6 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$\int \sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.3

اضرب $36$ في $- 1$ .

$\int \sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $36$ من $36$ .

$\int \sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $36$ من $- 36 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $36$ من $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \sqrt{36 \cos^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $36 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(6 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int 6 \cos (t) (6 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب $6$ في $6$ .

$\int 36 \cos (t) \cos (t) d t$

خطوة 2.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int 36 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.3

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int 36 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

خطوة 2.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 36 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 2.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\int 36 \cos^{2} (t) d t$

خطوة 3

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $36$ خارج التكامل.

$36 \int \cos^{2} (t) d t$

خطوة 4

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$36 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$36 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $36$ .

$\frac{36}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $36$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{18}{1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$18 \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$18 (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$18 (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 9

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 9.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 9.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$18 (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 10

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$18 (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$18 (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 12

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$18 (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 13

بسّط.

$18 (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{6})$ .

$18 (\arcsin (\frac{x}{6}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 14.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$18 (\arcsin (\frac{x}{6}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

خطوة 14.3

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{6})$ .

$18 (\arcsin (\frac{x}{6}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{6}))) + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{6}))$ .

$18 (\arcsin (\frac{x}{6}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{6}))}{2}) + C$

خطوة 15.2

طبّق خاصية التوزيع.

$18 \arcsin (\frac{x}{6}) + 18 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{6}))}{2} + C$

خطوة 15.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$18 \arcsin (\frac{x}{6}) + 2 (9) \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{6}))}{2} + C$

خطوة 15.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$18 \arcsin (\frac{x}{6}) + 2 \cdot 9 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{6}))}{2} + C$

خطوة 15.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$18 \arcsin (\frac{x}{6}) + 9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{6})) + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب الحدود.

$18 \arcsin (\frac{1}{6} x) + 9 \sin (2 \arcsin (\frac{1}{6} x)) + C$