حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x}{\sqrt{x - 1}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x - 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int (u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int (u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وسّع $(u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.6

اطرح $1$ من $2$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.7

اضرب $u^{- \frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7

بسّط.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} + C$