حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 3 {(2 t + 5)}^{3} d t$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int {(2 t + 5)}^{3} d t$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 2 t + 5$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 2 t + 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $2 t + 5$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 5]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 t + 5$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [5]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [5]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

اجمع $u^{3}$ و $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $3$ .

$\frac{3}{2} \int u^{3} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $\frac{3}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ بالصيغة $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 4} u^{4} + C$

خطوة 7.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{3}{8} u^{4} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t + 5$ .

$\frac{3}{8} {(2 t + 5)}^{4} + C$