حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \frac{1}{2} \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\frac{\cos (t)}{2}$ موجبة.

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (t)$ .

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.1.5

أعِد كتابة $- 1 \sin^{2} (t)$ بالصيغة $- \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\cos (t)$ و $\frac{\cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.3

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

خطوة 2.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

خطوة 2.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

خطوة 4

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 9

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 9.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 9.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 10

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 12

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 13

بسّط.

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 14.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

خطوة 14.3

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 \arcsin (2 x))$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}) + C$

خطوة 15.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

خطوة 15.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

خطوة 15.4

اضرب $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 15.4.2

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (2 x)) + C$