حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 4}^{4} \sqrt{16 - x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 4 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 4 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $4 \cos (t)$ موجبة.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.3

اضرب $16$ في $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $16$ من $16$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $16$ من $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $16$ من $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 \cos^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $16 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos (t) (4 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب $4$ في $4$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos (t) \cos (t) d t$

خطوة 2.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.3

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

خطوة 2.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 2.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos^{2} (t) d t$

خطوة 3

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

خطوة 4

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$16 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $16$ .

$\frac{16}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{8}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 6.2.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$8 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$8 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

خطوة 9

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 9.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 9.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 9.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

خطوة 9.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{2}$ إلى بسط الكسر.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

خطوة 9.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

خطوة 9.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = - π$

خطوة 9.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 9.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

خطوة 9.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = π$

خطوة 9.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

خطوة 9.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 10

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

خطوة 12

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

خطوة 13

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (u)]_{- π}^{π}$ .

$8 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

خطوة 14

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

احسِب قيمة $t$ في $\frac{π}{2}$ وفي $- \frac{π}{2}$ .

$8 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{π}}{2})$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $π$ وفي $- π$ .

$8 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

خطوة 14.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

خطوة 14.3.2

أضف $π$ و $π$ .

$8 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

خطوة 14.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$8 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

خطوة 14.3.3.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$8 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$8 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$8 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

خطوة 15.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$8 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

خطوة 15.1.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$8 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

خطوة 15.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$8 (π + \frac{0 - 0}{2})$

خطوة 15.1.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$8 (π + \frac{0 + 0}{2})$

خطوة 15.1.6

أضف $0$ و $0$ .

$8 (π + \frac{0}{2})$

خطوة 15.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$8 (π + 0)$

خطوة 16

أضف $π$ و $0$ .

$8 π$

خطوة 17

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$8 π$

الصيغة العشرية:

$25.13274122 \dots$

خطوة 18