حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \arctan (x)$ و $d v = 1$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2

اجمع $x$ و $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 3.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 3.5.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 4.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\arctan (x) x$ في $1$ وفي $0$ .

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

خطوة 7.2

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $2$ وفي $1$ .

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $\arctan (1)$ في $1$ .

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.3.2

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.3.3

اضرب $0$ في $\arctan (0)$ .

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 7.3.4

أضف $\arctan (1)$ و $0$ .

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

خطوة 8.2

اجمع $\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

خطوة 9.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

خطوة 9.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

خطوة 10

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.43882457 \dots$