حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

اضرب $x^{2} + 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.7

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$- x^{2} + 1 = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} = - 1$

خطوة 2.3.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.3.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 2.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$x^{2} = 1$

خطوة 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 2.3.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 2.3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 2.3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 2.3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $1, - 1$ .

$1, - 1$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4 + 1}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.1.3

أضف $- 4$ و $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $4$ و $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

خطوة 5.2.2.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{25}$

خطوة 5.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (- 2) = - \frac{3}{25}$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{3}{25}$ .

$- \frac{3}{25}$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 2$ هو $- \frac{3}{25}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, - 1)$ .

تناقص خلال $(- \infty, - 1)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 1}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = \frac{- 0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f' (0) = \frac{0 + 1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

أضف $0$ و $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

خطوة 6.2.3

اقسِم $1$ على $1$ .

$f' (0) = 1$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 0$ هو $1$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- 1, 1)$ .

تزايد خلال $(- 1, 1)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 1}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f' (2) = \frac{- 4 + 1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

أضف $- 4$ و $1$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{{(4 + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $4$ و $1$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{5^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = \frac{- 3}{25}$

خطوة 7.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (2) = - \frac{3}{25}$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{3}{25}$ .

$- \frac{3}{25}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 2$ هو $- \frac{3}{25}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(1, \infty)$ .

تناقص خلال $(1, \infty)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- 1, 1)$

تناقص خلال: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

خطوة 9