حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 81 x$ , $y = x^{5}$ , $x = 0$ , $x = 3$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$81 x = x^{5}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $81 x = x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $x^{5}$ من كلا المتعادلين.

$81 x - x^{5} = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $81 x - x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $81 x$ .

$x \cdot 81 - x^{5} = 0$

خطوة 1.2.2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{5}$ .

$x \cdot 81 + x (- x^{4}) = 0$

خطوة 1.2.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 81 + x (- x^{4})$ .

$x (81 - x^{4}) = 0$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة $81$ بالصيغة $9^{2}$ .

$x (9^{2} - x^{4}) = 0$

خطوة 1.2.2.3

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (9^{2} - {(x^{2})}^{2}) = 0$

خطوة 1.2.2.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 9$ و $b = x^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (9 - x^{2})) = 0$

خطوة 1.2.2.5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.5.1.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (3^{2} - x^{2})) = 0$

خطوة 1.2.2.5.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.5.1.2.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3$ و $b = x$ .

$x ((9 + x^{2}) ((3 + x) (3 - x))) = 0$

خطوة 1.2.2.5.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x ((9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x)) = 0$

خطوة 1.2.2.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$9 + x^{2} = 0$

$3 + x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{5}$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $9 + x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $9 + x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$9 + x^{2} = 0$

خطوة 1.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $9 + x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 9$

خطوة 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

خطوة 1.2.5.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1

أعِد كتابة $- 9$ بالصيغة $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

خطوة 1.2.5.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (9)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

خطوة 1.2.5.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

خطوة 1.2.5.2.3.4

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

خطوة 1.2.5.2.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm i \cdot 3$

خطوة 1.2.5.2.3.6

انقُل $3$ إلى يسار $i$ .

$x = \pm 3 i$

خطوة 1.2.5.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 3 i$

خطوة 1.2.5.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 3 i$

خطوة 1.2.5.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 3 i, - 3 i$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $3 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $3 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 + x = 0$

خطوة 1.2.6.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 1.2.7

عيّن قيمة العبارة $3 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

عيّن قيمة $3 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 - x = 0$

خطوة 1.2.7.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 3$

خطوة 1.2.7.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 3$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 3$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 1.2.7.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 1.2.7.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 1.2.7.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.2.3.1

اقسِم $- 3$ على $- 1$ .

$x = 3$

خطوة 1.2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = {(0)}^{5}$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $0$ عن $x$ في $y = {(0)}^{5}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 0^{5}$

خطوة 1.3.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 3 i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3 i$ .

$y = {(3 i)}^{5}$

خطوة 1.4.2

بسّط ${(3 i)}^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 i$ .

$y = 3^{5} i^{5}$

خطوة 1.4.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $5$ .

$y = 243 i^{5}$

خطوة 1.4.2.3

أخرِج عامل $i^{4}$ .

$y = 243 (i^{4} i)$

خطوة 1.4.2.4

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.4.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

خطوة 1.4.2.4.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$y = 243 ({(- 1)}^{2} i)$

خطوة 1.4.2.4.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$y = 243 (1 i)$

خطوة 1.4.2.5

اضرب $i$ في $1$ .

$y = 243 i$

خطوة 1.5

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 3 i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 3 i$ .

$y = {(- 3 i)}^{5}$

خطوة 1.5.2

بسّط ${(- 3 i)}^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 3 i$ .

$y = {(- 3)}^{5} i^{5}$

خطوة 1.5.2.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $5$ .

$y = - 243 i^{5}$

خطوة 1.5.2.3

أخرِج عامل $i^{4}$ .

$y = - 243 (i^{4} i)$

خطوة 1.5.2.4

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.4.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = - 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

خطوة 1.5.2.4.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$y = - 243 ({(- 1)}^{2} i)$

خطوة 1.5.2.4.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$y = - 243 (1 i)$

خطوة 1.5.2.5

اضرب $i$ في $1$ .

$y = - 243 i$

خطوة 1.6

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{5}$

خطوة 1.6.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $5$ .

$y = - 243$

خطوة 1.7

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3$ .

$y = {(3)}^{5}$

خطوة 1.7.2

عوّض بـ $3$ عن $x$ في $y = {(3)}^{5}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 3^{5}$

خطوة 1.7.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $5$ .

$y = 243$

خطوة 1.8

اسرِد جميع الحلول.

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{3} 81 x d x - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{3} 81 x - (x^{5}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $- 1$ في $x^{5}$ .

$\int_{0}^{3} 81 x - x^{5} d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{3} 81 x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

خطوة 3.4

بما أن $81$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $81$ خارج التكامل.

$81 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$81 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

خطوة 3.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

خطوة 3.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3})$

خطوة 3.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

خطوة 3.9.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $3$ وفي $0$ .

$81 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

خطوة 3.9.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{6}}{6}$ في $3$ وفي $0$ .

$81 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$81 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$81 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.5

أضف $\frac{9}{2}$ و $0$ .

$81 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.6

اجمع $81$ و $\frac{9}{2}$ .

$\frac{81 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.7

اضرب $81$ في $9$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.8

ارفع $3$ إلى القوة $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{729}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $729$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.9.1

أخرِج العامل $3$ من $729$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 (243)}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.9.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 3.9.2.3.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{6})$

خطوة 3.9.2.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.11.1

أخرِج العامل $6$ من $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 (0)}{6})$

خطوة 3.9.2.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.11.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

خطوة 3.9.2.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

خطوة 3.9.2.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{1})$

خطوة 3.9.2.3.11.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - 0)$

خطوة 3.9.2.3.12

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} + 0)$

خطوة 3.9.2.3.13

أضف $\frac{243}{2}$ و $0$ .

$\frac{729}{2} - \frac{243}{2}$

خطوة 3.9.2.3.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{729 - 243}{2}$

خطوة 3.9.2.3.15

اطرح $243$ من $729$ .

$\frac{486}{2}$

خطوة 3.9.2.3.16

احذِف العامل المشترك لـ $486$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.16.1

أخرِج العامل $2$ من $486$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2}$

خطوة 3.9.2.3.16.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.16.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2 (1)}$

خطوة 3.9.2.3.16.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 243}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.9.2.3.16.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{243}{1}$

خطوة 3.9.2.3.16.2.4

اقسِم $243$ على $1$ .

$243$

خطوة 4