حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{- x} + 1$ و $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{x})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{- x} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 4.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 4.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 4.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{e^{x} (- e^{- x} + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 4.5

أضف $- e^{- x}$ و $0$ .

$\frac{e^{x} (- e^{- x}) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 5

اضرب $e^{x}$ في $e^{- x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} e^{x} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{- x + x} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 5.3

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{e^{0} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 6

بسّط $e^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{- 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{- 1 - (e^{- x} + 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 1 + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 1 - e^{- x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

اضرب $e^{- x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

انقُل $e^{x}$ .

$\frac{- 1 - (e^{x} e^{- x}) - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 1 - e^{x - x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.1.3

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{- 1 - e^{0} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.2

بسّط $- e^{0}$ .

$\frac{- 1 - 1 - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- 1 - 1 - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 e^{x}$ بالصيغة $- e^{x}$ .

$\frac{- 1 - 1 - e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.2

اطرح $1$ من $- 1$ .

$\frac{- 2 - e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.4

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (2) - e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- e^{x}$ .

$\frac{- 1 (2) - (e^{x})}{e^{2 x}}$

خطوة 8.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (2) - (e^{x})$ .

$\frac{- 1 (2 + e^{x})}{e^{2 x}}$

خطوة 8.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 + e^{x}}{e^{2 x}}$