حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{e^{2 x} + e^{- 2 x}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . إذن $d u_{3} = (2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}) d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{3} = (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{3}$ و $d$ $u_{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . أوجِد $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + e^{- 2 x}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

خطوة 1.1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

خطوة 1.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

خطوة 1.1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

خطوة 1.1.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 1.1.4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 1.1.4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 1.1.4.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

خطوة 1.1.4.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

خطوة 1.1.4.5

انقُل $- 2$ إلى يسار $e^{- 2 x}$ .

$2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$u_{lower} = e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = e^{0} + e^{- 2 \cdot 0}$

خطوة 1.3.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$u_{lower} = 1 + e^{- 2 \cdot 0}$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $- 2$ في $0$ .

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

خطوة 1.3.1.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$u_{upper} = e^{2 \cdot 1} + e^{- 2 \cdot 1}$

خطوة 1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $2$ في $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2}$

خطوة 1.5.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{3}$ و $d u_{3}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u_{3}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3}$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{3}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u_{3}}$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)]_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}$

خطوة 5

احسِب قيمة $\ln (| u_{3} |)$ في $e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ وفي $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |) - \ln (| 2 |))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})}{2}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

$e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ تساوي تقريبًا $7.52439138$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{\ln (\frac{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

خطوة 7.1.2

لكتابة $e^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e^{2}}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2}}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

خطوة 7.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

خطوة 7.1.4

اضرب $e^{2}$ في $e^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2 + 2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

خطوة 7.1.4.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

خطوة 7.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{2})}{2}$

خطوة 7.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2})}{2}$

خطوة 7.4

اضرب $\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2} \cdot 2})}{2}$

خطوة 7.5

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.66250137 \dots$

خطوة 9