حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} - x y + y^{2} = 7$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (7)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - x y + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 y y'$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} - (x y') - y + 2 y y'$

خطوة 2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$3 x^{2} - x y' - y + 2 y y'$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$3 x^{2} - x y' + 2 y y' - y$

خطوة 3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} - x y' + 2 y y' - y = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- x y' + 2 y y' - y = - 3 x^{2}$

خطوة 5.1.2

أضف $y$ إلى كلا المتعادلين.

$- x y' + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $y'$ من $- x y' + 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $- x y'$ .

$y' (- x) + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 y y'$ .

$y' (- x) + y' (2 y) = - 3 x^{2} + y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- x) + y' (2 y)$ .

$y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ على $- x + 2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ على $- x + 2 y$ .

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y}{- x + 2 y}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y}{- x + 2 y}$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- y)}{- x + 2 y}$

خطوة 5.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

خطوة 5.3.3.5

أعِد كتابة $- (3 x^{2} - y)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

خطوة 5.3.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) + 2 y}$

خطوة 5.3.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) - (- 2 y)}$

خطوة 5.3.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x - 2 y)}$

خطوة 5.3.3.9

أعِد كتابة $- (x - 2 y)$ بالصيغة $- 1 (x - 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

خطوة 5.3.3.10

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

خطوة 5.3.3.11

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$