حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u^{3}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u^{3}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2 u^{3}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $u^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} {(u^{3})}^{- 1} d u$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(u^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3 \cdot - 1} d u$

خطوة 4.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{- 3} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{2}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ في $2$ وفي $1$ .

$\frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

خطوة 6.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

خطوة 6.2.3

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

خطوة 6.2.4

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

خطوة 6.2.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

خطوة 6.2.6

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2})$

خطوة 6.2.7

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

خطوة 6.2.8

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.8.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4})$

خطوة 6.2.8.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{8})$

خطوة 6.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4}{8}$

خطوة 6.2.10

أضف $- 1$ و $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

خطوة 6.2.11

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{8}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 8}$

خطوة 6.2.12

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{3}{16}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3}{16}$

الصيغة العشرية:

$0.1875$

خطوة 8